Aufgabe 1 (WTR 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + ax^2 + ax + \frac{1}{4}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $G_a$ für $a = 0$.

a

Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $(1|-1)$ auf $G_a$ liegt, und zeigen Sie, dass dieser Punkt Wendepunkt dieses Graphen ist. [5 BE]

$a =$

d

Betrachtet werden für jeden Wert $u > 0$ die Tangente $t_u$ an $G_0$ im Punkt $P_u(u|f_0(u))$ sowie der Punkt $Q_u(u|0)$. Die Tangente $t_u$ schneidet die x-Achse in einem Punkt, der mit $T_u$ bezeichnet wird. Begründen Sie mithilfe von geeigneten Eintragungen in Abbildung 1, dass $|\overline{T_u Q_u}| = \frac{f_0(u)}{f'_0(u)}$ für jeden Wert $u > 0$ gilt. [4 BE]

e

Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der y-Achse liegen und die den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f_0$ in genau zwei Punkten berühren. Der Punkt $A(1|\frac{3}{4})$ ist ein Berührpunkt eines solchen Kreises. Bestimmen Sie rechnerisch die y-Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises. [5 BE]

$y_M =$