Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2026 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: -2x_1 - x_2 + 2x_3 - 2 = 0$.

a

Begründen Sie, dass $g$ senkrecht zu $E$ steht, und zeigen Sie, dass der Punkt $P(-4 \mid 2 \mid -2)$ in $E$ liegt. [2 BE]

b

Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes auf $g$, der zu $E$ den Abstand $12$ hat. [3 BE]

$Q($ $\mid$ $\mid$ $)$

In der Abbildung ist das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|3)$ dargestellt.

a

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $F$ an. [1 BE]

b

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $P$ auf der Kante $\overline{DE}$, für den das Dreieck $APC$ den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck $ACFD$ hat. [4 BE]

Gegeben sind für $a \in \mathbb{R}$ die Geraden $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -2a \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $c$ die Ebene $E: 2x_2 + x_3 = c$. Jede Gerade $g_a$ liegt in $E$.

a)

Bestimmen Sie $c$.

[1 BE]

$c =$

Gegeben sind für $a \in \mathbb{R}$ die Geraden $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -2a \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $c$ die Ebene $E: 2x_2 + x_3 = c$. Jede Gerade $g_a$ liegt in $E$.

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage, ohne Abstände zu berechnen:

Der Punkt $P(1|3|-1)$ hat zu jeder Gerade $g_a$ den gleichen Abstand.

[4 BE]

Gegeben sind für $a \in \mathbb{R}$ die Geraden $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -2a \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $c$ die Ebene $E: 2x_2 + x_3 = c$. Jede Gerade $g_a$ liegt in $E$.

Betrachtet werden die Dreiecke $AB_sC_t$ mit $A(0|0|0)$, $B_s(4s|3s|0)$ und $C_t(0|0|t)$ mit $s, t \in \mathbb{R}^+$.

a)

Begründen Sie, dass jedes Dreieck $AB_sC_t$ im Punkt $A$ rechtwinklig ist.

[2 BE]

b)

Zu jedem Wert von $s$ gibt es einen Wert von $t$, so dass das Dreieck $AB_sC_t$ gleichschenklig ist. Zeigen Sie, dass die zugehörigen Punkte $(s|t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

[3 BE]

Gegeben sind für $a \in \mathbb{R}$ die Geraden $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -2a \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $c$ die Ebene $E: 2x_2 + x_3 = c$. Jede Gerade $g_a$ liegt in $E$.

1 Aufgabe

Für jeden Wert von $t \in \mathbb{R}^+$ ist die Pyramide $A_t B_t C D S_t$ mit der Grundfläche $A_t B_t C D$ und der Spitze $S_t$ gegeben. Dabei gilt $A_t(1 \mid 1+2t \mid 0)$, $B_t(-1 \mid 1+2t \mid 0)$, $C(-1 \mid -1 \mid 0)$, $D(1 \mid -1 \mid 0)$ und $S_t(0 \mid t \mid 6)$. Jede Pyramide $A_t B_t C D S_t$ besitzt genau zwei Symmetrieebenen. Geben Sie für jeden Wert von $t$ jeweils eine Gleichung für die beiden zugehörigen Symmetrieebenen an und begründen Sie Ihre Angaben. [5 BE]