Aufgabe 1 (WTR 3) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

a Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass G_f streng monoton fallend ist und durch den Koordinatenursprung verläuft.

Lösung: Da $G_f$ gegenüber dem streng monoton fallenden Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x \mapsto e^{-x}$ gestreckt und verschoben ist, ist $G_f$ streng monoton fallend. $f(0) = 5 \cdot e^0 - 5 = 0$

Geben Sie den Grenzwert lim_{x -> +inf} f(x) an.

Lösung: -5

e Geben Sie den Definitionsbereich von g an

Lösung: ]-5; +\infty[

und zeigen Sie, dass g(x) = -5/3 * ln(1/5 x + 1) gilt.

Lösung: $y = 5 \cdot e^{-\frac{3}{5}x} - 5 \Leftrightarrow \frac{y+5}{5} = e^{-\frac{3}{5}x} \Leftrightarrow \ln\left(\frac{y+5}{5}\right) = -\frac{3}{5}x \Leftrightarrow -\frac{5}{3} \cdot \ln\left(\frac{y+5}{5}\right) = x$ Somit gilt: $g(x) = -\frac{5}{3} \cdot \ln\left(\frac{1}{5}x + 1\right)$

g Begründen Sie ohne zu rechnen, dass die Tangente t auch den Graphen von g berührt, und zwar im Punkt P(f(x_Q)|x_Q).

Lösung: $t$ hat die Steigung $-1$ und ist daher symmetrisch bezüglich der Gerade mit der Gleichung $y = x$. Da der Graph von $g$ aus $G_f$ durch Spiegelung an dieser Gerade erzeugt werden kann, berührt $t$ auch den Graphen von $g$, und zwar in dem Punkt, der sich aus der Spiegelung von $Q$ ergibt.

h Zeichnen Sie das Viereck PQRS mit R(x_Q | g(x_Q)) und S(g(x_Q) | x_Q) in Abbildung 2 ein.

Lösung: Eingezeichnetes Viereck $PQRS$ mit den Punkten $P, Q, R, S$ sowie den Hilfslinien zur Begründung der Höhe $h$.

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Vierecks durch den folgenden Term angegeben wird: (PQ + RS)/2 * (PQ - RS)/2

Lösung: Das Viereck ist aufgrund seiner Symmetrie bezüglich der Gerade mit der Gleichung $y = x$ ein Trapez. Damit beträgt der Flächeninhalt $\frac{\overline{PQ} + \overline{RS}}{2} \cdot h$, wobei $h$ der Abstand der parallelen Seiten ist. Aufgrund der genannten Symmetrie und der Tatsache, dass $S$ die gleiche y-Koordinate wie $P$ hat, gilt $\sphericalangle QPS = 45^\circ$; folglich ist das Dreieck $SPT$ gleichschenklig und es gilt $h = \frac{\overline{PQ} - \overline{RS}}{2}$.