Aufgabe 2 (WTR 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Abbildung 2 stellt schematisch die Vorderansicht einer Bahnhofshalle mit zwei Einfahrten für Züge dar. Die Vorderansicht wird modellhaft durch das zur $y$-Achse symmetrische Flächenstück beschrieben, das die $x$-Achse, die Geraden mit den Gleichungen $x = -1{,}2$ und $x = 1{,}2$ sowie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (e^x + e^{-x})$ einschließen. Dabei stellt der Graph von $f$ für $-1{,}2 \le x \le 1{,}2$ die Profillinie des Dachs dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $20\text{ m}$ in der Realität.

c)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Profillinie des Dachs und die linke Seitenkante in der Vorderansicht einschließen (vgl. Abbildung 2).

d)

Im Modell beschreibt die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r\colon x \mapsto 0{,}75 - 10\cdot(x-0{,}5)^4$ für $0{,}1 \le x \le 0{,}9$ den oberen Rand der rechten Einfahrt. Unterhalb des oberen Rands dieser Einfahrt befindet sich eine Signalleuchte, die im Modell durch den Punkt $P(0{,}8\mid 0{,}6)$ beschrieben werden kann. Betrachtet wird die folgende Rechnung im Zusammenhang mit einem Punkt $Q(x_Q\mid r(x_Q))$:$$\frac{r(x_Q)-0{,}6}{x_Q-0{,}8}\cdot r'(x_Q) = -1 \iff x_Q = 0{,}835...$$$$\text{damit: } \sqrt{(0{,}8 - x_Q)^2 + (0{,}6 - r(x_Q))^2} \cdot 20 \approx 0{,}85$$Geben Sie die Bedeutung des Ergebnisses $0{,}85$ dieser Rechnung im Sachzusammenhang an und erläutern Sie den Ansatz, mit dem in der ersten Zeile der Rechnung die x-Koordinate des Punktes $Q$ ermittelt wird.