Aufgabe 2 - Quantenobjekte · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2022

Teilaufgabe 1 a) Nennen Sie die Aussagen des Huygens’schen Prinzips. Erläutern Sie unter Verwendung des Huygens’schen Prinzips, wie sich die Wellen hinter dem jeweiligen Spalt ausbreiten, und berücksichtigen Sie dabei besonders das Phänomen der Beugung.

Lösung: Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle, die sich mit derselben Geschwindigkeit und Frequenz ausbreitet wie die ursprüngliche Wellenfront im betreffenden Medium. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Die Abbildungen 1a und 1b zeigen, dass sich die Welle in den geometrischen Schattenraum hinter dem Spalt ausbreitet. Dieses Phänomen wird als Beugung bezeichnet. In Abbildung 1a breitet sich die Welle hinter dem Spalt kreisförmig aus, die Beugung der Welle ist deutlich sichtbar. Der Spalt kann als Ausgangspunkt einer einzigen Elementarwelle aufgefasst werden, die sich hinter dem Spalt ausbreitet. In Abbildung 1b breitet sich die Welle in der ursprünglichen Richtung aus, an den Rändern dringt sie jedoch im Bogen in den „Schatten“ ein, die Beugung der Welle ist weniger deutlich sichtbar. In dem Spalt breiten sich von mehreren Punkten Elementarwellen aus, deren Einhüllende eine ebene Wellenfront mit kreisförmigen Ausläufern bildet.

Teilaufgabe 1 b) Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda$ für ein $\mathrm{H_2}$-Molekül der Masse $m = 3{,}32 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$ und der Geschwindigkeit $v = 200\text{ m/s}$.

Lösung: $9{,}98 \cdot 10^{-10}\text{ m} \approx 1\text{ nm}$

Teilaufgabe 1 b) Geben Sie einen Grund dafür an, warum die Spaltöffnungen frei von Materie sein müssen.

Lösung: Teilchen können feste Materie aufgrund von Stößen mit den Gitteratomen nicht wechselwirkungsfrei durchdringen. Lediglich im Vakuum wird ein Teilchenstrahl nicht gestreut, daher müssen die Spalte materiefrei sein.

Teilaufgabe 1 b) Erläutern Sie anhand der Abbildungen 1a und 1b, weshalb nach der De-Broglie-Beziehung Welleneigenschaften von Materie nur bei Objekten mit sehr kleiner Masse $m$ deutlich beobachtbar sein können.

Lösung: Gemäß den Abbildungen 1a und 1b tritt das Phänomen der Beugung nur dann deutlich in Erscheinung, wenn die Breite des verwendeten Spalts in etwa so groß wie die Wellenlänge ist. Die einem Objekt zugeordnete Wellenlänge ist antiproportional zum Produkt $m \cdot v$. Bereits bei einem sehr massearmen (und langsamen) $\mathrm{H_2}$-Molekül liegt sie im unteren Nanometerbereich. Einem wesentlich massereicheren Objekt wird folglich eine wesentlich kleinere Wellenlänge zugeordnet. Dementsprechend wird auch ein wesentlich kleinerer materiefreier Spalt benötigt, der aufgrund des atomaren Aufbaus von Materie nicht realisierbar ist.

Teilaufgabe 1 c) Leiten Sie die Einstein’sche Gleichung $\lambda_{\mathrm{Ph}} = \frac{h}{m_{\mathrm{Ph}} \cdot c}$ für Photonen her.

Lösung: Die Gleichung $E_{\mathrm{Ph}} = h \cdot f$ gibt die Energie eines Photons an, wobei $f$ die Frequenz der elektromagnetischen Strahlung bedeutet. Mit $f = \frac{c}{\lambda_{\mathrm{Ph}}}$ und der Energie-Masse-Äquivalenz $E = m \cdot c^2$ folgt: $$m_{\mathrm{Ph}} \cdot c^2 = h \cdot \frac{c}{\lambda_{\mathrm{Ph}}}$$ wobei $m_{\mathrm{Ph}}$ die dem Photon zugeordnete Masse bezeichnet. Umformen liefert: $$\lambda_{\mathrm{Ph}} = \frac{h}{m_{\mathrm{Ph}} \cdot c}$$

Teilaufgabe 2 a) Erläutern Sie qualitativ, wie die Interferenzmaxima auf der Detektorplatte zustande kommen.

Lösung: Die Spalte des Beugungsgitters sind Ausgangspunkte von Elementarwellen, die im Raumbereich hinter dem Gitter interferieren. Auf der Detektorplatte treten sehr helle Bereiche mit vielen Farbstoffmolekülen dort auf, wo konstruktive Interferenz aller Elementarwellen stattfindet. Zwischen diesen Bereichen findet weitestgehend destruktive Interferenz der Elementarwellen statt, sodass dort dunkle Bereiche ohne Farbstoffmoleküle auftreten.

Teilaufgabe 2 b) Leiten Sie den Zusammenhang $d_n = \frac{n \cdot \lambda \cdot a}{g}$ unter Verwendung einer aussagekräftigen Skizze her.

Lösung: Da bei einem Maximum alle Elementarwellen konstruktiv interferieren, müssen insbesondere die Elementarwellen zweier benachbarter Spalte konstruktiv interferieren. Wegen $g \ll a$ sind die beiden Strecken $\overline{S_1 P}$ und $\overline{S_2 P}$ näherungsweise parallel. Der Winkel $\alpha_n$, unter dem das Maximum $n$-ter Ordnung beobachtet werden kann, taucht daher auch in dem grau unterlegten Dreieck auf, bei dem eine Seitenlänge dem Gangunterschied $\Delta s$ entspricht. Mit $\sin(\alpha_n) = \frac{\Delta s}{g}$ und $\tan(\alpha_n) = \frac{d_n}{a}$ sowie der Kleinwinkelnäherung folgt: $$\frac{\Delta s}{g} = \frac{d_n}{a}$$ Mit der Bedingung $\Delta s = n \cdot \lambda$ mit $n = 0, 1, 2, \dots$ für konstruktive Interferenz erhält man: $$\frac{n \cdot \lambda}{g} = \frac{d_n}{a} \quad \text{bzw.} \quad d_n = \frac{n \cdot \lambda \cdot a}{g}$$

Teilaufgabe 2 c1) Bestimmen Sie die Masse $m$ der Farbstoffmoleküle im Experiment mithilfe von Abbildung 3, des Zusammenhangs aus Aufgabenteil b) und der De-Broglie-Beziehung.

Lösung: $8{,}9 \cdot 10^{-25}\text{ kg} / 536\text{ u}$

Teilaufgabe 2 c2) Erläutern Sie, wie sich die beiden Maxima erster Ordnung verändern, wenn man die Streuung $\Delta v$ verkleinern könnte.

Lösung: Die Streuung der Geschwindigkeit $\Delta v$ führt gemäß der Gleichung $d_1 = \frac{1 \cdot h \cdot a}{g \cdot m \cdot v}$ zu einer Streuung $\Delta d_1$ bei dem Abstand des Maximums erster Ordnung von dem Maximum nullter Ordnung. Eine Verringerung von $\Delta v$ vermindert demnach $\Delta d_1$. Dies hat zur Folge, dass die beiden Maxima erster Ordnung schmaler werden.

Teilaufgabe 2 d) Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung des Interferenzmusters.

Lösung: Zu Beginn scheinen die Farbstoffmoleküle völlig zufällig und ungeordnet auf die Detektorplatte zu treffen. Doch nach und nach wird deutlich, dass es bestimmte Bereiche auf der Detektorplatte gibt, die häufiger von Farbstoffmolekülen getroffen werden als andere. Mit der Zeit erkennt man das bekannte Interferenzmuster.

Teilaufgabe 2 e1) Erklären Sie unter Heranziehung des Zitats, warum die Interferenzstreifen der Maxima erster Ordnung nicht parallel verlaufen.

Lösung: Dem Zitat kann entnommen werden, dass in einer vorgegebenen Höhe $h$ nur Farbstoffmoleküle einer bestimmten Geschwindigkeit $v$ auftreffen. Da der Abstand $d_1$ des Maximums erster Ordnung vom Maximum nullter Ordnung von der Wellenlänge und damit von der Geschwindigkeit der Farbstoffmoleküle abhängt, ergeben sich in unterschiedlichen Höhen verschiedene Werte für $d_1$. Damit verlaufen die zugehörigen Interferenzstreifen bei beiden Maxima erster Ordnung nicht parallel.

Teilaufgabe 2 e2) Weisen Sie mithilfe von Abbildung 5 nach, dass die Geschwindigkeit $v_{\max}$ der schnellsten Moleküle ungefähr doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeit $v_{\min}$ der langsamsten Moleküle.

Lösung: Die langsamsten Farbstoffmoleküle treffen am unteren Ende der Detektorplatte auf, die schnellsten hingegen am oberen Ende. Der Abstand $d_1$ ist am unteren Ende etwa doppelt so groß wie am oberen Ende. Da $d_1$ antiproportional zu $v$ ist, bedeutet das $v_{\max} \approx 2 \cdot v_{\min}$.

Teilaufgabe 2 e3) Beschreiben Sie das Muster, das sich bei Durchführung des Versuchs unter Schwerelosigkeit zeigen würde.

Lösung: Bei einer Versuchsdurchführung in Schwerelosigkeit würden alle Farbstoffmoleküle in der gleichen Höhe am oberen Rand der Detektorplatte auftreffen. Die meisten Farbstoffmoleküle würden dort in der Mitte detektiert, zu den Rändern nach links und rechts hin würde die Anzahl an detektierten Farbstoffmolekülen abnehmen.

Skizze zur Herleitung (Aufgabe 2b)

Lösung: Skizze mit optischem Gitter (Spaltabstand g), Detektorschirm im Abstand a, Ablenkwinkel alpha und Gangunterschied Delta s = g * sin(alpha) sowie Schirmabstand d_n = a * tan(alpha).