Abitur NRW Physik 2022 · GK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Interferenz von Wasser-, Licht- und Materiewellen

Teilaufgabe 1: Interferenz von Wasserwellen

In einer Wellenwanne werden Wasserwellen betrachtet. Zwei punktförmige Erreger in den Punkten $E_1$ und $E_2$ senden dabei kreisförmige Wellen aus. Beide Erreger schwingen in Phase und haben dieselbe Frequenz $f$ sowie dieselbe Amplitude $A$. In Abbildung 1 sind die Wellenfronten der Wellenberge und Wellentäler zu einem festen Zeitpunkt schematisch dargestellt.

Teilaufgabe 1: Interferenz von Wasserwellen

In einer Wellenwanne werden Wasserwellen untersucht. Zwei punktförmige Erreger in $E_1$ und $E_2$ senden kreisförmige Wellen aus. Beide Erreger schwingen in Phase, mit gleicher Frequenz $f$ und gleicher Amplitude $A$. Abbildung 1 stellt die Wellenfronten der Wellenberge und Wellentäler zu einem festen Zeitpunkt schematisch dar.

Die Wasserwellen der beiden Erreger besitzen die Wellenlänge $\lambda = 2{,}0\text{ cm}$ und breiten sich mit der Geschwindigkeit $c = 16\text{ }\frac{\text{cm}}{\text{s}}$ aus.

a)

Berechnen Sie die Schwingungsfrequenz $f$ der beiden Erreger.

b)

• Bestimmen Sie für den Punkt $P$ den Gangunterschied $\Delta s$.

• Geben Sie an, was die eingezeichnete Linie $a$ hinsichtlich des Gangunterschieds bedeutet.

Der Punkt $P$ liegt auf einer nicht dargestellten Linie $b$, die hinsichtlich des Gangunterschieds eine ähnliche Bedeutung hat.

• Zeichnen Sie diese Linie $b$ in Abbildung 1 ein.

• Erläutern Sie die Begriffe „konstruktive“ und „destruktive Interferenz“ allgemein sowie anhand der beiden Linien $a$ und $b$.

Teilaufgabe 2: Interferenz von Lichtwellen

Abbildung 2 zeigt einen Aufbau, bei dem ein Laser einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand $g$ beleuchtet. Auf einem Schirm im Abstand $a$ vom Doppelspalt entsteht ein Interferenzmuster.

a)

• Nennen Sie, was das Huygens’sche Prinzip aussagt.

• Erklären Sie unter Verwendung des Huygens’schen Prinzips, wie das Interferenzmuster auf dem Schirm zustande kommt.

b)

Für den Winkel $\alpha_n$, unter dem das Maximum $n$-ter Ordnung auftritt, gelten die beiden folgenden Gleichungen:

$$g \cdot \sin(\alpha_n) = n \cdot \lambda \quad \text{und} \quad \tan(\alpha_n) = \frac{d_n}{a}$$

Hierbei ist $d_n$ der Abstand zwischen dem Maximum $n$-ter Ordnung und dem Maximum nullter Ordnung.

Erläutern Sie beide Gleichungen anhand einer oder mehrerer aussagekräftiger Skizzen, in denen Sie besonders den Gangunterschied $\Delta s$ markieren.

c)

Der Laser in Abbildung 2 strahlt monochromatisches Licht mit unbekannter Wellenlänge $\lambda$ ab. Die Spaltmitten haben den Abstand $g = 0{,}50\text{ mm}$, der Schirm ist $a = 4{,}5\text{ m}$ vom Doppelspalt entfernt. Die beiden Maxima erster Ordnung liegen $d = 1{,}1\text{ cm}$ auseinander.

Bestimmen Sie die Wellenlänge $\lambda$ des Lasers mithilfe der Gleichungen aus Aufgabenteil b).

d)

Nun wird der Doppelspalt durch ein Beugungsgitter und die monochromatische Lichtquelle durch eine Glühlampe ersetzt. Abbildung 3 zeigt das Interferenzmuster auf dem Schirm (Farbausdruck siehe Anlage).

Begründen Sie, warum ein Beugungsgitter das weiße Licht der Glühlampe in ein Farbspektrum zerlegt.

e)

In Abbildung 3 überlappen sich die Farbspektren erster und zweiter Ordnung nicht, die Spektren zweiter und dritter Ordnung dagegen schon.

• Geben Sie allgemein die Bedingung für eine solche Überlagerung an.

Misst man mit einem speziellen Gerät die Intensität der Strahlung im dunklen Bereich zwischen dem Spektrum erster und zweiter Ordnung, so ergibt sich ein deutlich von null verschiedener Wert.

• Interpretieren Sie dieses Messergebnis.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Interferenz von Wasser-, Licht- und Materiewellen

Teilaufgabe 1: Interferenz von Wasserwellen

In einer Wellenwanne werden Wasserwellen betrachtet. Zwei punktförmige Erreger in den Punkten $E_1$ und $E_2$ senden dabei kreisförmige Wellen aus. Beide Erreger schwingen in Phase und haben dieselbe Frequenz $f$ sowie dieselbe Amplitude $A$. In Abbildung 1 sind die Wellenfronten der Wellenberge und Wellentäler zu einem festen Zeitpunkt schematisch dargestellt.

Teilaufgabe 3: Interferenz von Materiewellen

Laut der De-Broglie-Hypothese lässt sich einem Elektron mit der Geschwindigkeit $v$ die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{m_e \cdot v}$ zuordnen; dabei steht $h$ für das Planck'sche Wirkungsquantum und $m_e$ für die Elektronenmasse. In einer Simulation wird ein Elektronenstrahl, dessen Elektronen aus dem Ruhezustand eine Beschleunigungsspannung von $U_B = 1{,}0\text{ kV}$ durchlaufen haben, senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand $g = 1{,}0\,\mu\text{m}$ gelenkt.

a)

Nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $U_B$ ergibt sich die Geschwindigkeit der Elektronen aus dem Zusammenhang $v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e}}$.

• Leiten Sie diese Beziehung mithilfe eines Energieansatzes her. [3 Punkte]

Auf einem Schirm im Abstand $a = 3{,}0\text{ m}$ hinter dem Doppelspalt entsteht ein Interferenzmuster. Abbildung 4 zeigt das Simulationsergebnis, nachdem 1000 Elektronen auf dem Schirm angekommen sind. Der Doppelspalt ist im Verhältnis zum abgebildeten Maßstab deutlich vergrößert und nicht maßstabsgetreu gezeichnet.

• Begründen Sie mithilfe einer geeigneten Rechnung, dass das Interferenzmuster auf dem Schirm stark vergrößert wiedergegeben ist. [4 Punkte]

[Zwischenergebnis für die weitere Rechnung: Die Elektronen haben die Wellenlänge $\lambda = 3{,}9 \cdot 10^{-11}\text{ m}$.]

b)

Der Nobelpreisträger für Physik Richard Feynman äußert sich zum Verhalten von Elektronen wie folgt:

„ So ging man früher davon aus, das Elektron beispielsweise verhalte sich wie ein [klassisches] Teilchen, doch dann fand man heraus, in vieler Hinsicht verhält es sich wie eine [klassische] Welle. In Wirklichkeit verhält es sich also wie keines von beiden. Mittlerweile haben wir es aufgegeben. Wir sagen:,Es ist wie keines von beidem.‘ “

Erläutern Sie Richard Feynmans Aussage und gehen Sie dabei besonders darauf ein, wie sich klassische Teilchen bzw. klassische Wellen am Doppelspalt verhalten. [4 Punkte]

c)

Nun trifft statt der Elektronen ein Photonenstrahl mit gleicher Energie auf den Doppelspalt.

Entscheiden Sie mithilfe einer geeigneten Rechnung, ob der Abstand $d_1$ zwischen dem Maximum erster Ordnung und dem Maximum nullter Ordnung größer wird. [4 Punkte]

Aufgabe: Spannungserzeugung, Bereitstellung und Transport von elektrischer Energie

Teilaufgabe 1: Grundlagen zum Induktionsgesetz

Die an den Enden einer Spule induzierte Spannung $U_{\mathrm{ind}}$ kann gemäß folgender Formel beschrieben werden:

$$U_{\mathrm{ind}} = -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Dabei ist $n$ die Windungszahl der Spule, $A$ die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Querschnittsfläche der Spule, $B$ die Stärke des magnetischen Feldes und $t$ die Zeit.

a)

Geben Sie an, welcher grundlegende Auslöser der Induktion durch die obige Formel mathematisch erfasst wird. [2 Punkte]

Im folgenden Versuch werden Induktionserscheinungen untersucht. Hierbei befindet sich im homogenen Magnetfeld einer felderzeugenden Spule eine Induktionsspule mit $n = 400$ Windungen und einem Querschnitt von $A = 2{,}50 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}^2$. Die Achsen beider Spulen sind parallel (vgl. Abbildung 1).

Eine regelbare Spannungsquelle ist mit der felderzeugenden Spule verbunden und erzeugt in ihr das in Abbildung 2 dargestellte, zeitlich sich ändernde Magnetfeld der Stärke $B$.

b)

Mithilfe eines an die Induktionsspule angeschlossenen Voltmeters kann die Induktionsspannung $U_{\mathrm{ind}}$ gemessen werden.

• Begründen Sie, weshalb die Induktionsspannung $U_{\mathrm{ind}}$ im Zeitintervall von $t = 0\ \mathrm{s}$ bis $t = 4\ \mathrm{s}$ konstant ist. [2 Punkte]

• Berechnen Sie jeweils die Induktionsspannung $U_{\mathrm{ind}}$ für das Zeitintervall von $t = 0\ \mathrm{s}$ bis $t = 4\ \mathrm{s}$ und das Zeitintervall von $t = 4\ \mathrm{s}$ bis $t = 6\ \mathrm{s}$. [3 Punkte]

• Zeichnen Sie ein zu Abbildung 2 passendes $t$-$U_{\mathrm{ind}}$-Diagramm für die ersten 18 Sekunden in das Koordinatensystem von Abbildung 3. [3 Punkte]

Der oben dargestellte Versuch lässt sich vielfach variieren, z. B. könnte damit einhergehend eine Veränderung der Werte der Induktionsspannung $U_{\mathrm{ind}}$ beobachtet werden.

• Nennen Sie zwei Möglichkeiten, den Versuch so zu verändern, dass sich die Werte der Induktionsspannung $U_{\mathrm{ind}}$ verdoppeln. [2 Punkte]

c)

Das Magnetfeld der Stärke $B$ im Inneren der Feldspule soll so geregelt werden, dass sich ein Spannungssignal der Induktionsspule gemäß Abbildung 4 ergibt.

Skizzieren Sie in Abbildung 5 ein zu Abbildung 4 passendes $t$-$B$-Diagramm für die felderzeugende Spule. [4 Punkte]

Teilaufgabe 2: Induktives Laden von Elektroautos

Seit einigen Jahren wird das Induktionsprinzip für kabellose Ladevorgänge untersucht und weiterentwickelt. Auch die Idee, Autos kabellos zu laden, wird dabei betrachtet.

Dazu sind zwei Spulen notwendig, eine befindet sich im Boden und eine an der Unterseite des Autos (siehe Abbildung 6). An der Bodenspule liegt die Primärspannung an. Eine auftretende Sekundärspannung an der Autospule kann mit einer Schaltung so verarbeitet werden, dass die nicht eingezeichnete Batterie des Autos geladen wird.

a)

Die Primärspannung sei zunächst eine Gleichspannung. Das Auto wird auf die Parkposition gemäß Abbildung 6 gefahren und dann dort abgestellt.

• Erklären Sie, weshalb bei diesem Vorgang die Sekundärspannung nur für kurze Zeit auftritt. [3 Punkte]

Die Primärspannung sei von nun an eine Wechselspannung. Das Auto steht weiterhin auf der Parkposition gemäß Abbildung 6.

• Erklären Sie, weshalb die Autobatterie dadurch dauerhaft geladen werden kann. [3 Punkte]

b)

In Deutschland wird elektrische Energie via Wechselspannung typischerweise mit einer Wechselspannungsfrequenz von $f_{\mathrm{Netz}} = 50\ \mathrm{Hz}$ bereitgestellt. Wird an der Bodenspule eine Wechselspannung mit einer höheren Frequenz $f > f_{\mathrm{Netz}}$ angelegt, erhöht sich die Sekundärspannung beim Ladeprozess.

• Erläutern Sie, warum sich die Sekundärspannung erhöht, wenn an der Bodenspule eine Wechselspannung höherer Frequenz $f > f_{\mathrm{Netz}}$ angelegt wird. [2 Punkte]

• Beschreiben Sie eine andere Möglichkeit, die Sekundärspannung zu erhöhen. [3 Punkte]

Teilaufgabe 3: Elektromotorische Bremse

Neben induktiven Ladeprozessen können auch bei Bremsvorgängen von Elektroautos Induktionsphänomene genutzt werden, z. B. kann ein Elektromotor beim Bremsvorgang als elektromotorische Bremse eingesetzt werden.

Im Folgenden wird der elektromotorische Bremsvorgang vereinfacht anhand der geradlinigen Bewegung eines Metallstabs in einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ untersucht. Dabei wird das vordere Ende des Metallstabs mit P bezeichnet, das hintere Ende mit Q (vgl. Abbildung 7).

a)

Ein Metallstab bewegt sich gleichförmig mit dem Geschwindigkeitsbetrag $v = 1{,}2\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$ auf zwei leitenden Schienen senkrecht zum homogenen Magnetfeld der Stärke $B = 2{,}5\ \mathrm{mT}$. Die Schienen sind parallel zueinander mit einem Abstand von $\ell = 6{,}0\ \mathrm{cm}$. Zwischen den Schienen befindet sich ein Spannungsmessgerät.

• Erklären Sie, weshalb zwischen den Schienen eine konstante Induktionsspannung auftritt. [4 Punkte]

• Leiten Sie her, dass für den Betrag der Induktionsspannung gilt: $U_{\mathrm{ind}} = B \cdot \ell \cdot v$. [3 Punkte]

• Berechnen Sie die Induktionsspannung mit den oben angegebenen Werten. [2 Punkte]

b)

Das Spannungsmessgerät wird durch ein Kabel ersetzt (vgl. Abbildung 8), sodass sich im geschlossenen Stromkreis ein Induktionsstrom ergibt. Die Stromstärke des Induktionsstroms wird mit $I$ bezeichnet.

Begründen Sie, dass der Induktionsstrom eine bremsende Kraft auf den bewegten Stab bewirkt. [4 Punkte]

c)

Die bremsende Kraft $F_{\mathrm{B}}$ gemäß Aufgabenteil 3b) wird durch die Formel $F_{\mathrm{B}} = I \cdot \ell \cdot B$ berechnet. Die Induktionsstromstärke $I$ ist also proportional zur bremsenden Kraft $F_{\mathrm{B}}$. Bei einem konkreten Bremsvorgang des bewegten Stabs wird die Induktionsstromstärke $I$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ erfasst. Abbildung 9 zeigt das dazugehörige $t$-$I$-Diagramm.

• Begründen Sie, dass der Stab nach $t = 0{,}6\ \mathrm{s}$ noch in Bewegung ist. [3 Punkte]

• Erklären Sie, weshalb die Induktionsstromstärke $I$ im Verlauf der Zeit $t$ abnimmt. [3 Punkte]

d)

In den Teilaufgaben 3b) und 3c) wird der Bremsvorgang eines kurzgeschlossenen bewegten Stabs in einem Magnetfeld untersucht. Nach diesem grundlegenden Prinzip kann auch eine elektromotorische Bremse eines Elektroautos funktionieren, sodass die bisher gewonnenen Erkenntnisse darauf übertragen werden können.

• Beschreiben Sie, wie der Fahrer den Bremsvorgang wahrnimmt, wenn das Auto gemäß Abbildung 9 abgebremst wird. [2 Punkte]

Bei einer Vollbremsung bis zum Stillstand wird das Auto in möglichst kurzer Zeitspanne auf $v = 0$ abgebremst.

• Begründen Sie anhand von Abbildung 9, dass Elektroautos mit einer elektromotorischen Bremse für eine Vollbremsung bis zum Stillstand zusätzlich eine mechanische Bremse benötigen. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Entstehung und Analyse von Strahlung / Bobrennsport

Die Teilaufgaben 1 und 2 befassen sich mit der Emission und Absorption von Licht, die Teilaufgabe 3 mit mechanischen Fragestellungen zum Bobrennsport.

Teilaufgabe 1: Lichtemission von Wasserstoff

a)

In Abbildung 1 ist das Energieniveauschema des Wasserstoffatoms dargestellt, wobei die Niveaus mit der Quantenzahl $n$ beschriftet sind.

Erläutern Sie allgemein, welche Bedeutung ein Energieniveauschema in einem Atommodell hat, das die Quantelung der Energie einbezieht.

Erklären Sie, was man unter Grundzustand und angeregtem Zustand versteht.

Beschreiben Sie anhand der Angaben in Abbildung 1, wie die Atomhülle eines Wasserstoffatoms aufgebaut ist.

Erklären Sie, was das Energieniveau $E_{\text{ges}} = 0$ in Abbildung 1 bedeutet.

b)

Die Lichtemission von Wasserstoff wird durch die Gleichung $\Delta E = -13{,}6\,\text{eV} \cdot \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)$ beschrieben. Dabei stehen die ganzen Zahlen $m$ und $n$ für die Quantenzahlen zweier unterschiedlicher Zustände des Wasserstoffs.

Erläutern Sie, was $\Delta E$ bei der Lichtemission bedeutet.

Bei der Lichtemission ist $\Delta E$ positiv. Ermitteln Sie, welche der Quantenzahlen $m$ und $n$ zum energiereicheren und welche zum energieärmeren Zustand gehört.

c)

Die rote Spektrallinie des Wasserstoffs hat die Wellenlänge $\lambda = 656\,\text{nm}$. Berechnen Sie die dazugehörige Photonenenergie $E_{\text{Ph}}$ in Joule und in Elektronenvolt. Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1, welchem Übergang im Wasserstoffatom die rote Spektrallinie entspricht.

Teilaufgabe 2: Sternspektren

Spektroskopische Aufnahmen des Sonnenlichts enthalten die sogenannten Fraunhoferlinien (siehe Abbildung 2). Die Bezeichnungen der auffälligsten Linien (Großbuchstaben) und der weniger auffälligen Linien (Kleinbuchstaben) gehen auf Joseph Fraunhofer zurück.

a)

Erläutern Sie allgemein, worin sich die Entstehung von Linienspektren in Emission und in Absorption unterscheidet. Geben Sie an, ob die Fraunhoferlinien im Spektrum von Abbildung 2 Emissions- oder Absorptionslinien sind.

Absorption

Emission

b)

Die „C-Linie“ Fraunhofers stimmt mit der roten Wasserstofflinie aus Aufgabenteil 1c) überein. Alle sichtbaren Wasserstofflinien zählen zur Balmer-Serie (Übergang nach $n = 2$). Zeigen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass es sich bei der „E-Linie“ ($\lambda_E = 527\,\text{nm}$ bzw. $E_{\text{Ph},E} = 2{,}35\,\text{eV}$) nicht um eine Spektrallinie des Wasserstoffs handelt.

c)

Bei bestimmten Sternen außerhalb des Sonnensystems konnte man das Vorhandensein von sogenannten Exoplaneten nachweisen, die diese Sterne umkreisen. Abbildung 3 zeigt schematisch die Helligkeit des beobachteten Lichts in Abhängigkeit von der Zeit, während der Exoplanet vom Beobachter aus gesehen vor dem Stern entlangläuft. Als Transit bezeichnet man die Phase, in der der Exoplanet den Stern teilweise verdeckt (siehe Abbildung 4).

Auch der Stern eines Exoplaneten besitzt wie die Sonne ein charakteristisches Spektrum. Erläutern Sie, wie sich das vom Beobachter gemessene Spektrum des Sterns ändert, wenn ein Planet mit Atmosphäre, wie in Abbildung 4 gezeigt, einen Transit durchläuft. Vergleichen Sie dies mit dem Fall eines Exoplaneten ohne Atmosphäre, der also nur aus dem lichtundurchlässigen Teil in Abbildung 4 besteht.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Entstehung und Analyse von Strahlung / Bobrennsport

Die Teilaufgaben 1 und 2 befassen sich mit der Emission und Absorption von Licht, die Teilaufgabe 3 mit mechanischen Fragestellungen zum Bobrennsport.

a)

Den Bahnrekord im Viererbob auf der Kunsteisbahn Winterberg stellten 2015 Nico Walther und seine damalige Besatzung auf. Er liegt bei $t_{\text{Bahnrekord}} = 53{,}48\text{ s}$.

• Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ der Rekordfahrt in der Einheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Im Bobsport werden Fahrzeiten heute auf hundertstel Sekunden genau gemessen. Die wirklich erzielte Rekordzeit von Nico Walther liegt daher im Zeitintervall $53{,}475\text{ s} \le t_{\text{Bahnrekord}} < 53{,}485\text{ s}$, also in einem Zeitintervall der Länge $\Delta t = 0{,}01\text{ s}$.

• Ermitteln Sie die Strecke $\Delta s$, die Nico Walther während dieses Zeitintervalls $\Delta t$ bei der Rekordfahrt mit der Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ zurückgelegt hat.

b)

Das Anschieben des Schlittens am Start (siehe Abbildung 5b) zählt zu den entscheidenden Phasen eines Bobrennens. Da der Startbereich in Winterberg recht kurz und abschüssig ist, sollte die gesamte Viererbob-Besatzung spätestens nach etwa $t_{\text{Start}} \approx 4{,}0\text{ s}$ im Bob sitzen.

In Abbildung 6 ist das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm für den Start eines Viererbobs auf der Bahn in Winterberg dargestellt.

• Begründen Sie qualitativ mithilfe von Abbildung 6, dass sich der Bob ab etwa $t = 5{,}0\text{ s}$ als gleichmäßig beschleunigt betrachten lässt.

• Zeigen Sie, dass die Beschleunigung $a_{\text{Bob}}$ bei der in Abbildung 6 dargestellten Fahrt ab etwa $t = 5{,}0\text{ s}$ gleich $a_{\text{Bob}} = 2{,}8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ist.

c)

Bestimmen Sie für die Fahrt aus Aufgabenteil b) die Strecke, die der Bob zwischen $t = 5{,}0\text{ s}$ und $t = 7{,}0\text{ s}$ zurücklegt.

d)

Auf dem Weg vom Start ins Ziel gewinnt ein Viererbob stetig kinetische Energie. Bleibt die beim Anschieben zugeführte Energie unberücksichtigt, folgt aus dem Höhenunterschied $\Delta h$ zwischen Start und Ziel der Eisbahn eine theoretische Maximalgeschwindigkeit $v_{\text{theo.max.}}$, mit der der Bob das Ziel höchstens durchfahren kann.

• Leiten Sie die Beziehung $v_{\text{theo.max.}} = \sqrt{2\cdot g\cdot \Delta h}$ her, wobei $g$ für die Fallbeschleunigung steht.

• Bestimmen Sie $v_{\text{theo.max.}}$ für die Bahn in Winterberg.

• Beschreiben Sie mindestens zwei Einflussfaktoren, die erklären, weshalb die tatsächliche Endgeschwindigkeit deutlich unter $v_{\text{theo.max.}}$ liegt.