Aufgabe 1 · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2022

Aufgabe 1: Experimentelle und theoretische Untersuchung von induktiven Vorgängen

Das Induktionsgesetz kann mit Differenzenquotienten gemäß $$U_{\text{ind}} = \underbrace{-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}}_{\text{1. Term}} \;\underbrace{- n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}_{\text{2. Term}}$$ notiert werden. Dabei steht $U_{\text{ind}}$ für die Induktionsspannung, $n$ für die Windungszahl, $B$ für die Stärke des magnetischen Feldes, $A$ für die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzte Fläche und $t$ für die Zeit.

Teilaufgabe 1: Grundlagen zum Induktionsgesetz

a)

Erläutern Sie jeweils, auf welche Ursache sich das Entstehen einer Induktionsspannung beim 1. bzw. 2. Term zurückführen lässt.

Beschreiben Sie jeweils ein Experiment, in dem sich eine Induktionsspannung gemäß dem 1. bzw. 2. Term nachweisen lässt.

b)

In einem Gedankenexperiment gemäß Abbildung 1 bewegt sich eine rechteckige, mit einem Voltmeter verbundene Leiterschleife der Breite $b$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ von links nach rechts vollständig durch ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld der Stärke $B$. Abbildung 1 zeigt sowohl den Beginn des Gedankenexperiments zum Zeitpunkt $t = 0$ (Position 1) sowie das Ende (Position 2) der zu betrachtenden Bewegung.

Zeichnen Sie ein qualitatives $t$-$U_{\text{ind}}$-Diagramm dieses Gedankenexperiments.

c)

Das Auftreten einer von null verschiedenen Induktionsspannung beim Eintritt einer Leiterschleife in ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld gemäß Abbildung 1 kann quantitativ mithilfe des oben angegebenen Induktionsgesetzes beschrieben werden. Begründen Sie, dass dafür eine Vereinfachung des angegebenen Induktionsgesetzes zu $U_{\text{ind}} = -B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}$ verwendet werden kann.

Zeigen Sie, dass sich daraus $U_{\text{ind}} = -v \cdot B \cdot b$ herleiten lässt.

Teilaufgabe 2: Fahrbahn-Versuche zum Induktionsgesetz

Im Folgenden wird das Gedankenexperiment gemäß Abbildung 1 in einem Realexperiment untersucht (siehe Abbildung 2a). Abbildung 2a zeigt den konkreten Aufbau mit einer Luftkissenfahrbahn, einem Gleiter mit Verdunklungsfahne und Leiterschleife, einem Hufeisenmagneten und zwei Lichtschranken. Die Leiterschleife befindet sich auf einem Gleiter, der sich auf der Luftkissenfahrbahn bewegt. Die Luftkissenfahrbahn dient dazu, eine gleichförmige Bewegung zu realisieren. Zwischen den Lichtschranken ist gemäß Abbildung 2a der Hufeisenmagnet angebracht. Der Gleiter bewegt sich durch den Hufeisenmagneten und die Lichtschranken hindurch. Die Lichtschranken messen jeweils eine Verdunklungszeit $\Delta t$.

Abbildung 2b zeigt den Gleiter samt Verdunklungsfahne der Länge $\Delta l$, auf der eine Leiterschleife mit der Breite $b$ und der Länge $d$ angebracht ist. Bei Kenntnis der Länge $\Delta l$ der Verdunklungsfahne lässt sich durch das Messen der Verdunklungszeit $\Delta t$ der Geschwindigkeitsbetrag $v$ des Gleiters mittels $v = \frac{\Delta l}{\Delta t}$ berechnen.

a)

Die Leiterschleife ist an ein Messwerterfassungssystem angeschlossen, sodass der zeitliche Verlauf der elektrischen Spannung aufgezeichnet werden kann. Abbildung 3 stellt das aufgenommene Spannungssignal dar, wobei die Verdunklungszeiten der beiden Lichtschranken gleich gemessen werden. Beschreiben Sie das Diagramm in Abbildung 3.

b)

Die Leiterschleife bewegt sich entlang der $x$-Achse (vgl. Abbildung 4), wobei die Ortskoordinate $x = 0\text{ cm}$ genau mittig zwischen den Schenkeln des Hufeisenmagneten liegt. Das Magnetfeld des Hufeisenmagneten wird im Folgenden zwischen den Schenkeln ($-1{,}5\text{ cm} \le x \le 1{,}5\text{ cm}$) näherungsweise als homogen angenommen. Außerhalb der Schenkel ist das Magnetfeld inhomogen. Abbildung 5a stellt die Stärke $B$ des Magnetfeldes in Abhängigkeit vom Ort $x$ dar. Die Abbildungen 5b und 5c zeigen die sich von links nach rechts bewegende Leiterschleife an zwei verschiedenen Positionen. Bei der Bewegung der Leiterschleife von links nach rechts (vgl. Abbildungen 5b und 5c) wirkt jeweils im rechten und linken Leiterstück eine Lorentzkraft. Damit kann die Stärke des gemessenen Spannungssignals erklärt werden. Erklären Sie mithilfe eines Vergleichs der Lorentzkraft im rechten und linken Leiterstück, dass in Abbildung 5b das gemessene Spannungssignal höher ist als in Abbildung 5c.

Begründen Sie, dass die gemessene Spannung kleiner wird, wenn sich das rechte Leiterstück durch den homogenen Feldbereich bewegt.

Erläutern Sie, dass die Spannung mit $U = 0\text{ mV}$ gemessen wird, wenn sich die Mitte der Leiterschleife genau in der Mitte des homogenen Feldbereichs befindet.

Das Spannungssignal gemäß Abbildung 3 verändert sich, wenn im Experiment eine Leiterschleife mit der halben Länge $d = 4{,}5\text{ cm}$ (statt $d = 9{,}0\text{ cm}$) verwendet wird. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die Breite $b$ gleich ist, die Lichtschranken weiterhin die gleichen Verdunklungszeiten wie in 2a) messen und sich die Mitte der kürzeren Leiterschleife zum selben Zeitpunkt in der Mitte des homogenen Feldbereichs befindet.

• Skizzieren Sie in Abbildung 3 das veränderte Spannungssignal.

c)

In Abbildung 6 sind vier $t$-$U$-Diagramme und die dazugehörigen Verdunklungszeiten $\Delta t$ dargestellt. Dabei hat sich die Leiterschleife jeweils gleichförmig durch den Hufeisenmagneten bewegt. $U_{\text{max}}$ beschreibt den maximalen Betrag des Spannungssignals ohne Berücksichtigung des Vorzeichens. Die maximale Stärke $B_{\text{max}}$ des magnetischen Feldes im homogenen Bereich kann für die verwendete Leiterschleife näherungsweise mittels $U_{\text{max}} = v \cdot B_{\text{max}} \cdot b$ ermittelt werden. Die Breite der Leiterschleife beträgt dabei $b = 3{,}2\text{ cm}$ und die Länge der Verdunklungsfahne $\Delta l = 10\text{ cm}$.

• Bestimmen Sie für jedes Diagramm gemäß Abbildung 6 den Betrag der maximalen Induktionsspannung $U_{\text{max}}$ sowie den Geschwindigkeitsbetrag $v$ des Gleiters.

Hinweis: Berücksichtigen Sie dabei die unterschiedlichen Skalierungen der $U$-Achsen.

Messung · 1 · 2 · 3 · 4

$\Delta t$ in s · 0,22 · 0,27 · 0,38 · 0,50

$U_{\text{max}}$ in mV

$v$ in $\frac{\text{cm}}{\text{s}}$

• Zeichnen Sie ein $v$-$U_{\text{max}}$-Diagramm.

d)

Der Versuchsaufbau wird gemäß Abbildung 7a durch einen weiteren Hufeisenmagneten ergänzt. Die zweite Lichtschranke ist dabei der Übersichtlichkeit halber nicht mehr dargestellt. Der Gleiter samt rechteckiger Leiterschleife bewegt sich gleichförmig von links nach rechts. Abbildung 7b zeigt das dabei aufgenommene $t$-$U$-Diagramm. Erläutern Sie mithilfe von Abbildung 7b, wie der ergänzte Magnet gepolt ist und welcher der beiden Magnete eine größere Stärke $B$ des magnetischen Feldes aufweist.

Dem Diagramm in Abbildung 7b kann man zwei Nulldurchgänge des Spannungssignals entnehmen. Bei einem Nulldurchgang muss die Mitte der Leiterschleife genau mittig zwischen den Schenkeln eines Hufeisenmagneten sein (vgl. Aufgabenteil 2b).

e)

Nachfolgend wird das Experiment abermals verändert. Unter den gleichnamigen Polen der beiden Hufeisenmagneten werden jeweils quaderförmige Eisenkerne so angebracht, dass zwischen ihnen ein Spalt ist (vgl. Abbildung 8a). Abbildung 8b zeigt das aufgenommene $t$-$U$-Diagramm, wenn sich der Gleiter abermals gleichförmig von links nach rechts bewegt. Die Leiterschleife bewegt sich dabei durch den Spalt zwischen den beiden Eisenkernen. Vergleichen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung in Abbildung 3 und Abbildung 8b.

Erklären Sie die mit annähernd $U = 0$ gemessene Spannung im Zeitintervall von $t = 2{,}96\text{ s}$ bis $t = 3{,}24\text{ s}$ in Abbildung 8b.