Abitur NRW Physik 2022 · LK · Haupttermin

Aufgabe 1: Experimentelle und theoretische Untersuchung von induktiven Vorgängen

Mithilfe von Differenzenquotienten lässt sich das Induktionsgesetz in der Form

$$U_{\text{ind}} = \underbrace{-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}}_{\text{1. Term}} \;\underbrace{- n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}_{\text{2. Term}}$$

darstellen. Hierbei bezeichnet $U_{\text{ind}}$ für die Induktionsspannung, $n$ für die Windungszahl, $B$ für die Stärke des magnetischen Feldes, $A$ für die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzte Fläche und $t$ für die Zeit.

Teilaufgabe 1: Grundlagen zum Induktionsgesetz

a)

• Erläutern Sie jeweils, auf welche Ursache sich die Entstehung einer Induktionsspannung beim 1. bzw. 2. Term zurückführen lässt.

• Beschreiben Sie jeweils einen Versuch, der die Entstehung einer Induktionsspannung entsprechend dem 1. bzw. 2. Term zeigt.

b)

In einem Gedankenexperiment gemäß Abbildung 1 bewegt sich eine rechteckige, mit einem Voltmeter verbundene Leiterschleife der Breite $b$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ von links nach rechts vollständig durch ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld der Stärke $B$.

Abbildung 1 zeigt sowohl den Beginn des Gedankenexperiments zum Zeitpunkt $t = 0$ (Position 1) sowie das Ende (Position 2) der zu betrachtenden Bewegung.

Zeichnen Sie für dieses Gedankenexperiment ein qualitatives $t$-$U_{\text{ind}}$-Diagramm.

c)

Das Auftreten einer von null verschiedenen Induktionsspannung beim Eintritt einer Leiterschleife in ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld gemäß Abbildung 1 kann quantitativ mithilfe des oben angegebenen Induktionsgesetzes beschrieben werden.

• Begründen Sie, dass dafür eine Vereinfachung des angegebenen Induktionsgesetzes zu $U_{\text{ind}} = -B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}$ verwendet werden kann.

• Zeigen Sie, dass sich daraus $U_{\text{ind}} = -v \cdot B \cdot b$ herleiten lässt.

Teilaufgabe 2: Fahrbahn-Versuche zum Induktionsgesetz

Im Folgenden wird das Gedankenexperiment gemäß Abbildung 1 in einem Realexperiment untersucht (siehe Abbildung 2a und 2b).

Bei Kenntnis der Länge $\Delta l$ der Verdunklungsfahne lässt sich durch das Messen der Verdunklungszeit $\Delta t$ der Geschwindigkeitsbetrag $v$ des Gleiters mittels $v = \frac{\Delta l}{\Delta t}$ berechnen.

a)

Die Leiterschleife ist an ein Messwerterfassungssystem angeschlossen, sodass der zeitliche Verlauf der elektrischen Spannung aufgezeichnet werden kann. Abbildung 3 stellt das aufgenommene Spannungssignal dar, wobei die Verdunklungszeiten der beiden Lichtschranken gleich gemessen werden.

Beschreiben Sie das in Abbildung 3 dargestellte Diagramm.

b)

Die Leiterschleife bewegt sich entlang der $x$-Achse (vgl. Abbildung 4), wobei die Ortskoordinate $x = 0\text{ cm}$ genau mittig zwischen den Schenkeln des Hufeisenmagneten liegt.

Das Magnetfeld des Hufeisenmagneten wird im Folgenden zwischen den Schenkeln ($-1{,}5\text{ cm} \le x \le 1{,}5\text{ cm}$) näherungsweise als homogen angenommen. Außerhalb der Schenkel ist das Magnetfeld inhomogen. Abbildung 5a stellt die Stärke $B$ des Magnetfeldes in Abhängigkeit vom Ort $x$ dar.

Die Abbildungen 5b und 5c zeigen die sich von links nach rechts bewegende Leiterschleife an zwei verschiedenen Positionen.

Bei der Bewegung der Leiterschleife von links nach rechts (vgl. Abbildungen 5b und 5c) wirkt jeweils im rechten und linken Leiterstück eine Lorentzkraft. Damit kann die Stärke des gemessenen Spannungssignals erklärt werden.

• Erklären Sie mithilfe eines Vergleichs der Lorentzkraft im rechten und linken Leiterstück, dass in Abbildung 5b das gemessene Spannungssignal höher ist als in Abbildung 5c.

• Begründen Sie, dass die gemessene Spannung kleiner wird, wenn sich das rechte Leiterstück durch den homogenen Feldbereich bewegt.

• Erläutern Sie, dass die Spannung mit $U = 0\text{ mV}$ gemessen wird, wenn sich die Mitte der Leiterschleife genau in der Mitte des homogenen Feldbereichs befindet.

• Das Spannungssignal gemäß Abbildung 3 verändert sich, wenn im Experiment eine Leiterschleife mit der halben Länge $d = 4{,}5\text{ cm}$ (statt $d = 9{,}0\text{ cm}$) verwendet wird. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die Breite $b$ gleich ist, die Lichtschranken weiterhin die gleichen Verdunklungszeiten wie in 2a) messen und sich die Mitte der kürzeren Leiterschleife zum selben Zeitpunkt in der Mitte des homogenen Feldbereichs befindet. Skizzieren Sie in Abbildung 3 das veränderte Spannungssignal.

c)

In Abbildung 6 sind vier $t$-$U$-Diagramme und die dazugehörigen Verdunklungszeiten $\Delta t$ dargestellt. Dabei hat sich die Leiterschleife jeweils gleichförmig durch den Hufeisenmagneten bewegt.

$U_{\text{max}}$ beschreibt den maximalen Betrag des Spannungssignals ohne Berücksichtigung des Vorzeichens. Die maximale Stärke $B_{\text{max}}$ des magnetischen Feldes im homogenen Bereich kann für die verwendete Leiterschleife näherungsweise mittels $U_{\text{max}} = v \cdot B_{\text{max}} \cdot b$ ermittelt werden. Die Breite der Leiterschleife beträgt dabei $b = 3{,}2\text{ cm}$ und die Länge der Verdunklungsfahne $\Delta l = 10\text{ cm}$.

• Bestimmen Sie für jedes Diagramm gemäß Abbildung 6 den Betrag der maximalen Induktionsspannung $U_{\text{max}}$ sowie den Geschwindigkeitsbetrag $v$ des Gleiters.

• Zeichnen Sie das zugehörige $v$-$U_{\text{max}}$-Diagramm.

• Ermitteln Sie anhand einer grafischen Auswertung des $v$-$U_{\text{max}}$-Diagramms die Stärke $B_{\text{max}}$ des magnetischen Feldes.

Messung

1

2

3

4

$\Delta t$ in s

0,22

0,27

0,38

0,50

$U_{\text{max}}$ in mV

$v$ in $\frac{\text{cm}}{\text{s}}$

d)

Der Versuchsaufbau wird gemäß Abbildung 7a durch einen weiteren Hufeisenmagneten ergänzt. Die zweite Lichtschranke ist dabei der Übersichtlichkeit halber nicht mehr dargestellt. Der Gleiter samt rechteckiger Leiterschleife bewegt sich gleichförmig von links nach rechts. Abbildung 7b zeigt das dabei aufgenommene $t$-$U$-Diagramm.

• Erläutern Sie mithilfe von Abbildung 7b, wie der ergänzte Magnet gepolt ist und welcher der beiden Magnete eine größere Stärke $B$ des magnetischen Feldes aufweist.

• Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 7b den Abstand $D$ zwischen den Mitten der beiden Hufeisenmagnete.

e)

Nachfolgend wird das Experiment abermals verändert. Unter den gleichnamigen Polen der beiden Hufeisenmagneten werden jeweils quaderförmige Eisenkerne so angebracht, dass zwischen ihnen ein Spalt ist (vgl. Abbildung 8a). Abbildung 8b zeigt das aufgenommene $t$-$U$-Diagramm, wenn sich der Gleiter abermals gleichförmig von links nach rechts bewegt.

Die Leiterschleife bewegt sich dabei durch den Spalt zwischen den beiden Eisenkernen.

• Vergleichen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung in Abbildung 3 und Abbildung 8b.

• Erklären Sie die mit annähernd $U = 0$ gemessene Spannung im Zeitintervall von $t = 2{,}96\text{ s}$ bis $t = 3{,}24\text{ s}$ in Abbildung 8b.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Welleneigenschaften von Farbstoffmolekülen

Teilaufgabe 1: Materiewellen

Teilaufgabe 1: Materiewellen

a)

Die Abbildungen 1a und 1b zeigen Momentaufnahmen aus einer Simulation zur Ausbreitung von Wellen. In Abbildung 1a trifft eine von links einlaufende ebene Welle der Wellenlänge $\lambda$ auf einen Spalt der Breite $b \approx \lambda$. In Abbildung 1b ist hingegen $b > \lambda$.

Nennen Sie, was das Huygens'sche Prinzip aussagt.

Erläutern Sie unter Verwendung des Huygens'schen Prinzips, wie sich die Wellen hinter dem jeweiligen Spalt ausbreiten, und berücksichtigen Sie dabei besonders die Beugung.

b)

Nach de Broglie lässt sich einem Objekt der Masse $m$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ zuordnen; dabei ist $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum.

Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda$ für ein $\text{H}_2$-Molekül der Masse $m = 3{,}32 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$ und der Geschwindigkeit $v = 200\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Bei Beugungsexperimenten mit Materiewellen müssen die Spaltöffnungen im Unterschied zu Lichtwellen frei von Materie sein.

Geben Sie einen Grund an, weshalb die Spaltöffnungen materiefrei sein müssen.

Erläutern Sie anhand der Abbildungen 1a und 1b, weshalb sich nach der De-Broglie-Beziehung Welleneigenschaften von Materie nur bei Objekten mit sehr kleiner Masse $m$ deutlich zeigen können.

c)

De Broglie gewann die Beziehung $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ im Kern, indem er die seit Einstein bekannte Gleichung $\lambda_{\text{Ph}} = \frac{h}{m_{\text{Ph}} \cdot c}$ für Photonen (mit $c = v_{\text{Ph}}$) auf Objekte mit Masse und der Geschwindigkeit $v < c$ übertrug.

Leiten Sie die Einstein'sche Gleichung $\lambda_{\text{Ph}} = \frac{h}{m_{\text{Ph}} \cdot c}$ für Photonen her.

Teilaufgabe 2: Ein Interferenzexperiment mit Farbstoffmolekülen

2012 untersuchte eine internationale Forschergruppe an der Universität Wien in einem beeindruckenden Experiment die quantenmechanische Wellennatur massereicher Farbstoffmoleküle. Der grundsätzliche Aufbau der Apparatur ist in Abbildung 2 dargestellt.

In einer Vakuumkammer fällt ein horizontaler Strahl aus Farbstoffmolekülen mit einheitlicher Geschwindigkeit auf ein Beugungsgitter mit der Gitterkonstante $g = 100\text{ nm}$. Am Ende der Apparatur treffen die Moleküle auf eine Detektorplatte im Abstand $a = 564\text{ mm}$ hinter dem Gitter und werden dort durch einen Laser zum Leuchten angeregt. Eine Kamera mit Farbfilter vor dem Objektiv nimmt das Interferenzbild auf der Detektorplatte auf.

a)

Erläutern Sie qualitativ, wie die Interferenzmaxima auf der Detektorplatte entstehen.

b)

Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ gilt für den Abstand $d_n$ des Maximums $n$-ter Ordnung zum Maximum nullter Ordnung:

$$d_n = \frac{n \cdot \lambda \cdot a}{g}.$$

Hierbei ist $\lambda$ die den Farbstoffmolekülen zugeordnete Wellenlänge.

Leiten Sie diesen Zusammenhang unter Verwendung einer aussagekräftigen Skizze her.

c)

In einem ersten Versuch haben die Farbstoffmoleküle die Geschwindigkeit $v = 150\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Abbildung 3 stellt die auf der Detektorplatte gemessene Intensitätsverteilung des Interferenzmusters dar.

Bestimmen Sie die Masse $m$ der Farbstoffmoleküle in diesem Experiment mithilfe von Abbildung 3, des Zusammenhangs aus Teil b) und der De-Broglie-Beziehung.

Die Geschwindigkeit $v$ der im Experiment verwendeten Farbstoffmoleküle weist eine geringfügige Streuung $\Delta v$ um den oben angegebenen Wert auf.

Erläutern Sie, wie sich die beiden Maxima erster Ordnung verändern, wenn man die Streuung $\Delta v$ verkleinern könnte.

d)

Abbildung 4 zeigt vier Momentaufnahmen aus dem Video, das die Kamera während der Versuchsdurchführung aufgenommen hat. Zu sehen ist jeweils der gleiche Ausschnitt der Detektorplatte zu verschiedenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten $t_1 < t_2 < t_3 < t_4$.

Beschreiben Sie, wie sich das Interferenzmuster zeitlich entwickelt.

e)

In einer abgewandelten Versuchsvariante haben die Farbstoffmoleküle stark verschiedene Geschwindigkeiten: Im Strahl kommen alle Geschwindigkeiten $v$ zwischen $v_{\text{min}}$ und $v_{\text{max}}$ vor. Abbildung 5 zeigt das vollständige Interferenzmuster auf der Detektorplatte. Der Pfeil gibt die Richtung der Gravitationskraft $F_G$ an, die auf die Moleküle wirkt.

Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler schreiben in der Veröffentlichung des Fotos: „Wir können [...] die Geschwindigkeit der Moleküle ableiten, da die Beugung den Molekülstrahl in horizontaler Richtung ausbreitet und die Gravitationskraft dazu führt, dass die Höhe $h$ auf der Detektorplatte von der Geschwindigkeit $v$ des Moleküls abhängt.“

Erklären Sie anhand des Zitats, warum die Interferenzstreifen der Maxima erster Ordnung nicht parallel verlaufen.

Weisen Sie mithilfe von Abbildung 5 nach, dass die Geschwindigkeit $v_{\text{max}}$ der schnellsten Farbstoffmoleküle ungefähr doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeit $v_{\text{min}}$ der langsamsten.

Beschreiben Sie das Muster, das sich bei Durchführung des Versuchs in Schwerelosigkeit zeigen würde.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Welleneigenschaften von Farbstoffmolekülen

Teilaufgabe 1: Materiewellen

Teilaufgabe 3: Detektion von Farbstoffmolekülen mittels eines Lasers

Zur Anregung der Farbstoffmoleküle dient ein Laser, der monochromatisches Licht der Wellenlänge $\lambda_L = 661\text{ nm}$ abstrahlt. Er beleuchtet die Detektorplatte gleichmäßig. Wenn ein Farbstoffmolekül auf der Detektorplatte ein Photon des Laserlichts absorbiert, nimmt es dessen Energie auf und gibt sie danach teils als Photon, teils als Wärme wieder ab.

a)

In Abbildung 6 ist ein Ausschnitt des Emissionsspektrums der im Experiment eingesetzten Farbstoffmoleküle dargestellt.

Der Wellenlängenbereich $400\text{ nm} \le \lambda \le 780\text{ nm}$ bildet den sichtbaren Teil des elektromagnetischen Spektrums.

Bei der Filmaufnahme sitzt vor dem Kameraobjektiv ein Farbfilter. Er absorbiert das Laserlicht mit $\lambda_L = 661\text{ nm}$ und lässt ausschließlich Licht aus einem schmalen Wellenlängenbereich um $\lambda = 700\text{ nm}$ durch.

b)

Die Strahlungsleistung des Lasers, also die je Zeiteinheit abgegebene Energie, hat den Wert $P_L = 50\text{ }\frac{\text{mJ}}{\text{s}}$.

c)

Ein Teil des monochromatischen Laserlichts wird an der Detektorplatte reflektiert und gelangt dann auf die Metallwand der Vakuumkammer. Dort können durch den Photoeffekt freie Elektronen entstehen.

Nacheinander trifft das Licht zweier Laser, im Folgenden Laser 1 und Laser 2 genannt, auf die Metallwand. Beide besitzen dieselbe Strahlungsleistung $P_L$, doch Laser 1 sendet pro Sekunde weniger Photonen aus als Laser 2.

• Entscheiden Sie für beide Aussagen A und B mit Begründung, ob sie richtig oder falsch sind:

Aussage A: Falls Laser 1 in der Metallwand keinen Photoeffekt bewirkt, bewirkt Laser 2 dort ebenfalls keinen.

Richtig

Falsch

Aussage B: Falls Laser 1 in der Metallwand den Photoeffekt hervorruft, so ruft Laser 2 dort ebenfalls den Photoeffekt hervor.

Richtig

Falsch

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Nachweis und Eigenschaften extrem seltener Elemente

Schon in der Antike kannte man insgesamt 10 chemische Elemente, und bis zum Ende des 19. Jahrhunderts kamen 73 weitere Entdeckungen hinzu. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ließen sich die Elemente zwar zunehmend besser nach ihrer Atommasse und nach wiederkehrenden, ähnlichen chemischen Eigenschaften ordnen, doch dem damals noch lückenhaften Periodensystem fehlte eine verlässliche „Nummerierung“ der Elemente. Erst am Anfang des 20. Jahrhunderts konnten Physikerinnen und Physiker mithilfe leistungsfähiger Atommodelle und neuer experimenteller Methoden die Anordnung der Elemente im Periodensystem über ihre „Ordnungszahl $Z$“ eindeutig bestimmen. Dazu trug die damals entstandene Röntgenspektroskopie maßgeblich bei.

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der Röntgenspektroskopie

a)

Zur Erzeugung von Röntgenstrahlung dienen speziell dafür ausgelegte Vakuumröhren.

Zeichnen Sie eine beschriftete Skizze, die den Aufbau einer Röntgenröhre und ihre elektrische Beschaltung darstellt.

Erläutern Sie, wie eine Röntgenröhre funktioniert; die atomaren Vorgänge bei der Entstehung der Strahlung müssen Sie dabei nicht betrachten.

b)

In Abbildung 1 ist ein typisches Röntgenspektrum dargestellt. Es setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: dem kontinuierlichen Spektrum der Bremsstrahlung und den Linien der charakteristischen Röntgenstrahlung.

Erklären Sie, wie Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung entstehen, indem Sie die jeweiligen elementaren Prozesse und ein passendes Modell des atomaren Aufbaus des Anodenmaterials heranziehen.

c)

Die Drehkristallmethode ist ein einfaches Verfahren, um ein Röntgenspektrum aufzunehmen. Abbildung 2 stellt einen typischen Versuchsaufbau dafür dar.

Bei der Messung des Röntgenspektrums mit dieser Methode trifft die gebündelte Strahlung unter einem Winkel $\vartheta$ auf einen Einkristall, dessen Oberfläche parallel zu seinen Netzebenen verläuft. Unter dem Winkel $2\vartheta$ zur Einfallsrichtung der Röntgenstrahlung misst ein Zählrohr die vom Einkristall gestreute Strahlung. Für die Wellenlänge $\lambda$ der dort nachgewiesenen Röntgenstrahlung gilt die sogenannte Bragg-Bedingung:

$$n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin\vartheta \quad \text{mit } n = 1, 2, 3, \dots$$

Dabei bezeichnet $d$ den Abstand benachbarter Netzebenen des Einkristalls.

Leiten Sie die Bragg-Bedingung mithilfe einer passenden Skizze her.

Bei der Messung eines Röntgenspektrums mit einem typischen Schulröntgengerät wird bei der Drehkristallmethode der Einkristall in gleichmäßigen Drehschritten $\Delta\vartheta$, beginnend bei kleinen Winkeln bis zu $\vartheta = 45^\circ$, bewegt. Das Zählrohr wird dabei entsprechend um den doppelten Drehwinkel mitgeführt. Nach jedem Drehschritt wird für eine immer gleiche Zeit $\Delta t$ die Zahl der Strahlungsereignisse im Zählrohr gemessen und für den jeweiligen Winkel $\vartheta$ registriert.

Erklären Sie, weshalb zur Aufnahme eines Röntgenspektrums die Messzeit $\Delta t$ für alle Messwerte gleich sein muss.

Bei einer konkreten Messung mit einem LiF-Kristall (Netzebenenabstand $d = 0{,}201\text{ nm}$) beträgt die Drehschrittweite $\Delta\vartheta = 0{,}2^\circ$. Die Messung beginnt bei $\vartheta = 3{,}0^\circ$.

Geben Sie die Anzahl der Messpunkte an, die bei dieser Messung aufgenommen werden.

Zeigen Sie, dass bei dieser Messung in erster Ordnung $n = 1$ der Wellenlängenbereich zwischen $\lambda_{\min} = 2{,}10 \cdot 10^{-11}\text{ m}$ und $\lambda_{\max} = 2{,}84 \cdot 10^{-10}\text{ m}$ abgedeckt wird.

Die Messung erfolgt bei einer Beschleunigungsspannung an der Röntgenröhre von $U_{\mathrm{B}} = 25{,}0\text{ kV}$.

Untersuchen Sie mit Begründung, ob sich das kurzwellige Ende des Röntgenspektrums unter diesen Messbedingungen erfassen lässt.

Teilaufgabe 2: Sortierung des Periodensystems durch Bestimmung der Ordnungszahlen der Elemente

a)

Abbildung 3 zeigt das Spektrum der Röntgenstrahlung des Kupfers. Die beiden Linien in dem Spektrum sind die $\text{K}_\alpha$- und die $\text{K}_\beta$-Linie des Kupfers. Die genaue Wellenlänge der $\text{K}_\alpha$-Linie in diesem Spektrum beträgt $\lambda_{\text{K}\alpha} = 0{,}154\text{ nm}$. Abbildung 4 zeigt das vereinfachte Niveauschema eines Atoms mit den Übergängen der charakteristischen Röntgenlinien.

Bestimmen Sie anhand von $\lambda_{\text{K}\beta}$ aus Abbildung 3 die Energiedifferenz zwischen der L-Schale und der M-Schale im Kupferatom in der Einheit $\text{keV}$.

b)

Der britische Physiker H. Moseley fand bereits 1914 auf empirischem Weg folgende Beziehung zwischen den Wellenlängen der $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien der chemischen Elemente (bis zum Zirkon) und ihrer Ordnungszahl $Z$:

$$\sqrt{\frac{1}{\lambda_{\text{K}\alpha}}} = \sqrt{C} \cdot (Z - 1)$$

Dabei bezeichnet $\sqrt{C}$ eine empirisch gefundene Proportionalitätskonstante mit der Maßeinheit $[\sqrt{C}] = 1\,\frac{1}{\sqrt{\text{m}}}$.

Tabelle 1 beinhaltet die von H. Moseley gemessenen Wellenlängen der $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien einiger Elemente.

Element:

Aluminium

Kalzium

Chrom

Kobalt

Zink

Zirkon

$Z$:

13

20

24

27

30

40

$\lambda_{\text{K}\alpha}$ in $\text{m}$:

$8{,}36 \cdot 10^{-10}$

$3{,}37 \cdot 10^{-10}$

$2{,}30 \cdot 10^{-10}$

$1{,}80 \cdot 10^{-10}$

$1{,}45 \cdot 10^{-10}$

$0{,}794 \cdot 10^{-10}$

Tabelle 1: $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien einiger Elemente (H. Moseley, 1914)

Zeigen Sie mithilfe einer grafischen Auswertung, dass die Messwerte aus Tabelle 1 die oben genannte Beziehung bestätigen.

Bestimmen Sie aus dieser grafischen Auswertung einen Wert für die Proportionalitätskonstante $\sqrt{C}$.

Bestimmen Sie anhand dieser Auswertung und der Informationen aus Teilaufgabe 2a die Ordnungszahl $Z$ von Kupfer.

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Nachweis und Eigenschaften extrem seltener Elemente

Schon in der Antike kannte man insgesamt 10 chemische Elemente, und bis zum Ende des 19. Jahrhunderts kamen 73 weitere Entdeckungen hinzu. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ließen sich die Elemente zwar zunehmend besser nach ihrer Atommasse und nach wiederkehrenden, ähnlichen chemischen Eigenschaften ordnen, doch dem damals noch lückenhaften Periodensystem fehlte eine verlässliche „Nummerierung“ der Elemente. Erst am Anfang des 20. Jahrhunderts konnten Physikerinnen und Physiker mithilfe leistungsfähiger Atommodelle und neuer experimenteller Methoden die Anordnung der Elemente im Periodensystem über ihre „Ordnungszahl $Z$“ eindeutig bestimmen. Dazu trug die damals entstandene Röntgenspektroskopie maßgeblich bei.

Teilaufgabe 3: Extrem seltene Elemente und ihre Entstehung

Dank stetig verbesserter chemischer Analyse- und Synthesetechniken und einer weiterentwickelten Röntgenspektroskopie wurden bis 1930 nahezu alle Elemente mit einer Ordnungszahl unterhalb der von Wismut ($Z < 83$) in natürlichen Mineralien aufgespürt und im Periodensystem eingeordnet. Nur die Elemente mit den Ordnungszahlen $Z = 43$ und $Z = 61$ waren zu dieser Zeit noch nicht nachweisbar.

a)

Man weiß inzwischen, dass alle Isotope des Elements mit der Ordnungszahl $Z = 43$ (Technetium Tc) radioaktiv zerfallen. Abbildung 5 stellt einen Ausschnitt einer aktuellen Nuklidkarte dar.

Es wird vermutet, dass sich bei der Bildung der Erdmaterie vor ungefähr $t_{\text{E}} = 5{,}0 \cdot 10^9\text{ a}$ auch etwas Technetium gebildet hat.

1937 wurde Technetium zum ersten Mal chemisch aus einer Molybdän-Folie gewonnen und röntgenspektroskopisch nachgewiesen. Die Folie war zuvor lange Zeit in einem Teilchenbeschleuniger mit hochenergetischen Deuteriumkernen ($^2\text{H}$-Kernen) bestrahlt worden.

24 Jahre später gelang der Nachweis, dass Technetium in kleinsten Spuren auch natürlich in Uranerzen auftritt. Es bildet sich dort durch die äußerst seltene Spontanspaltung (sf) eines $^{238}\text{U}$-Kerns. Abbildung 6 gibt die Zerfallsgleichung dieses natürlichen Prozesses und die anschließende Zerfallsreihe bis zum Technetium wieder. Die Zeitangaben in der Zerfallsreihe sind die Halbwertszeiten der jeweiligen Nuklide.

b)

Wie Technetium hat auch das Element mit $Z = 61$ (Promethium Pm) keine stabilen Isotope. Die Pm-Isotope mit den größten Halbwertszeiten lauten:

Isotop:

$^{145}\text{Pm}$

$^{146}\text{Pm}$

$^{147}\text{Pm}$

Halbwertszeit $t_{\text{H}}$:

$17{,}71\text{ a}$

$5{,}534\text{ a}$

$2{,}625\text{ a}$

Entdeckt wurde dieses Element erst 1947 bei der chemischen Analyse der Spaltprodukte der ersten Kernreaktoren. Abbildung 7 stellt die relative Häufigkeit $H$ der Spaltprodukte eines typischen Kernreaktors in Abhängigkeit von ihrer Massenzahl $A$ dar.

Promethium kommt in der Erdkruste noch deutlich seltener vor als Technetium. Auf natürlichem Weg bildet es sich in Uranerzen über einen ähnlichen Spalt- und Zerfallsprozess wie in Abbildung 6. Nach heutiger Einschätzung existieren in der gesamten Erdkruste nur $m = 0{,}570\text{ kg}$ natürliches Promethium, praktisch ausschließlich das Isotop $^{147}\text{Pm}$.

Hinweis: Nehmen Sie an, dass $147\text{ g}$ natürliches Promethium ungefähr $6{,}02\cdot 10^{23}\text{ Pm-Atomen}$ entsprechen.

Teilaufgabe 4: Das extraterrestrische Vorkommen von Promethium

Es ist bekannt, dass Promethium auf der Erde und vermutlich im gesamten Sonnensystem nur in verschwindend kleinen Mengen natürlich auftritt. Die Auswertung optischer Absorptionsspektren bestimmter besonderer Sterne zeigt jedoch, dass Promethium und die benachbarten Elemente des Periodensystems an der Oberfläche und in der näheren Umgebung dieser Sterne in messbaren Mengen vorliegen. Diese seltenen Sterne sind ungefähr so alt wie unsere Sonne (ca. $5\cdot 10^9\text{ a}$).

a)

Eine der Theorien, die das dortige „viel häufigere“ Vorkommen der bei uns sehr seltenen chemischen Elemente erklären soll, geht davon aus, dass im Bereich der Oberfläche dieser besonderen Sterne eine hohe Konzentration von langlebigen Uranisotopen vorhanden ist. Diese langlebigen Uranisotope existieren dort seit der Sternentstehung und werden durch die dort reichlich vorhandenen freien Neutronen aus dem Inneren des Sterns permanent gespalten. Als Spaltprodukte bleiben dabei u. a. die seltenen Elemente in messbarer Menge zurück.

b)