Abitur NRW Physik 2022 · LK · Nachtermin

Aufgabe: Einsatz eines Space Tethers im Erdmagnetfeld – das KITE-Experiment

Ein Space Tether (aus dem Englischen; space: „Raum“ und tether: „Leine“, „Spannseil“) ist ein langes, starkes Seil aus Metallfasern, das z. B. Satelliten paarweise zusammenhalten und einem wissenschaftlichen Vorschlag zufolge zur treibstoffsparenden Änderung der Umlaufbahn von Satelliten sowie zur Gewinnung von elektrischer Energie genutzt werden kann. Anfang 2017 wurde ein gut einwöchiges wissenschaftliches Experiment namens KITE (vgl. Abbildung 1) durchgeführt, welches u. a. die Funktionstüchtigkeit eines Space Tethers mit der Länge $l = 720\text{ m}$ demonstrieren sollte.

Teilaufgabe 1: Induktion im Erdmagnetfeld

a)

In Abbildung 2 (A) ist eine schematische, nicht maßstabsgetreue Darstellung einer möglichen Umlaufbahn des KITE-Satellitenpaars um die Erde sowie ein vereinfachtes Dipolmagnetfeld der Erde gezeigt. Nehmen Sie im Folgenden an, dass sich das Satellitenpaar mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Erde bewegt, sodass die Ausrichtung des Space Tethers stets senkrecht zur Bewegungsrichtung ist. Das in Abbildung 2 (A) gezeigte Dipolmagnetfeld $\vec{B}$ der Erde kann bei der Bewegung des Satellitenpaars in einer festen Umlaufbahn als lokal homogen angesehen werden (B).

• Begründen Sie, weshalb das Erdmagnetfeld im Bereich des Satellitenpaars (vgl. Abbildung 2 (B)) näherungsweise als homogen betrachtet werden darf.

Am zweiten Tag der KITE-Mission waren Messungen und deren Beurteilungen zu der Möglichkeit, eine Spannung zwischen den Enden des eingesetzten Space Tethers zu induzieren, geplant. Die beiden mittels des Space Tethers der Länge $l$ verbundenen Satelliten sollen sich zunächst vereinfachend innerhalb der Äquatorebene gemäß Abbildung 2 gleichförmig mit dem Betrag $v$ der Bahngeschwindigkeit durch das Magnetfeld der Erde mit der Stärke $B$ bewegen.

• Erläutern Sie mittels einer Betrachtung der wirkenden Kräfte, dass zwischen den Enden des Tethers eine elektrische Spannung $U$ induziert wird.

• Zeigen Sie mittels eines Kraftansatzes, dass folgende Gleichung für die Spannung $U$ gilt: $U = l \cdot v \cdot B$.

Die obige Gleichung wird wie folgt umgeformt:

$$U = l \cdot v \cdot B = l \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot B = \frac{\Delta A}{\Delta t} \cdot B$$

Anschließend wird behauptet, dass die Induktionsspannung, welche durch die Lorentzkraft hervorgerufen wird, somit auch durch das allgemeinere Phänomen der „Induktion durch zeitliche Änderung einer felddurchsetzten Fläche $A$“ erklärt werden kann.

• Erläutern Sie die oben dargestellten Umformungsschritte.

• Stellen Sie die Zusammenhänge der obigen Umformungen in einer geeigneten Skizze dar, in welcher die genutzten Variablen und insbesondere die zeitliche Änderung der felddurchsetzten Fläche zu erkennen ist.

b)

Für die nachfolgenden Überlegungen nehmen Sie zunächst an, dass sich das Satellitenpaar in einer Höhe von $h = 370\text{ km}$ über dem Erdboden gemäß Abbildung 2 um die Erde (Erdradius $r_E = 6370\text{ km}$) bewegt. Für einen Umlauf um die Erde benötigt das Satellitenpaar eine Zeit von $T = 90\text{ min}$. Die Stärke des Erdmagnetfeldes beträgt in dieser Höhe etwa $B = 0{,}16\text{ mT}$.

• Berechnen Sie die Spannung, die unter diesen Bedingungen im Experiment induziert werden sollte.

Das KITE-Experiment wurde jedoch nicht auf einer Umlaufbahn innerhalb der Äquatorebene durchgeführt, sondern von der Internationalen Raumstation ISS aus gestartet. Die Umlaufbahn des Satellitenpaars verlief daher unter einem Inklinationswinkel von etwa $52^\circ$. Die veränderte Umlaufbahn ist in Abbildung 3 skizziert.

In Abbildung 4 sind drei $t$-$U$-Diagramme gezeigt, in welchen jeweils unterschiedliche zeitliche Verläufe einer Spannung dargestellt sind.

• Entscheiden Sie, welche zwei der qualitativen zeitlichen Verläufe (1) – (3) aus Abbildung 4 die induzierte Spannung, für die in Abbildung 3 dargestellte Umlaufbahn des Satellitenpaars, nicht wiedergeben können.

Begründen Sie Ihre Wahl:

Teilaufgabe 2: Elektrischer Strom beim Space Tether

Am 3. bis zum 5. Tag der KITE-Mission sollte ein möglicher elektrischer Strom durch den Tether untersucht werden. Der Stromkreis in dem KITE-Experiment sollte über die Ionosphäre geschlossen werden. Am negativen Pol des Space Tethers war geplant, die überschüssigen Elektronen mittels einer Feldemissionskathode abzugeben sowie aus der Ionosphäre freie Elektronen am Pluspol aufzunehmen und hierdurch einen elektrischen Strom durch den Space Tether zu ermöglichen.

a)

Zunächst wird die Feldemissionskathode genauer betrachtet. In Abbildung 5 ist eine qualitative Skizze zu dem Aufbau einer solchen Kathode sowie das elektrische Feld zwischen Kathode und Anode skizziert.

• Erläutern Sie, an welchen Stellen der Feldemissionskathode Elektronen am Wahrscheinlichsten austreten werden.

• Geben Sie einen weiteren physikalischen Effekt an, mit dem freie Elektronen erzeugt werden können und

• stellen Sie mindestens eine Vermutung dar, warum der von Ihnen angegebene Effekt wahrscheinlich nicht in der Satellitenmission genutzt worden ist.

b)

Bei Berechnungen vor der Mission hat man abgeschätzt, dass man innerhalb des Space Tethers eine mittlere Stromstärke $I$ von etwa $10\text{ mA}$ erwarten kann.

• Berechnen Sie, wie viele Elektronen die Feldemissionskathode pro Sekunde abgibt.

In Abbildung 6 ist eine vereinfachte Darstellung aus einer Originalveröffentlichung zu dem Einsatz von Space Tethern gezeigt.

• Ermitteln Sie die Richtung der Bahngeschwindigkeit $\vec{v}$ des in Abbildung 6 gezeigten Satellitenpaars (Papierebene nach links oder rechts):

• Bestimmen Sie die Richtung der Kraftwirkung $\vec{F}_T$ auf das Satellitenpaar, welche von dem Strom durch den Tether verursacht wird (nach links oder rechts):

• Skizzieren Sie die vom Schwerpunkt des Satellitenpaars ausgehenden repräsentativen Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{F}_T$ in Abbildung 6.

Teilaufgabe 3: Technische Nutzung eines Space Tethers

Eine Zukunftsperspektive für den Einsatz eines Space Tethers ist die Entsorgung von alten Satelliten, den sogenannten „Ziel-Satelliten“ bzw. Weltraumschrott. Der Tether wird hierbei mittels eines „Jäger-Satelliten“ an die „Ziel-Satelliten“ mit Massen im Bereich einer Tonne, welche nicht mehr in Betrieb stehen, angebracht (vgl. Abbildung 7). Die aufgrund des elektrischen Stroms wirkende Lorentzkraft soll in diesem Fall die Gesamtenergie des Gespanns verringern und somit den Radius der Umlaufbahn nach und nach verkleinern. Nach einer gewissen Zeit würde das Satellitenpaar in die Erdatmosphäre eindringen und verglühen, der Weltraumschrott wäre entsorgt.

a)

• Berechnen Sie den Betrag der wirkenden Kraft auf den Space Tether der Länge $l = 720\text{ m}$, wenn die Stärke des Magnetfelds in der Umlaufbahn konstant $B = 0{,}16\text{ mT}$ und die Tether-Stromstärke $I = 10\text{ mA}$ beträgt.

Die klassische Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ des Satellitenpaars setzt sich aus seiner kinetischen Energie $E_{\text{kin}}$ und der potentiellen Energie $E_{\text{pot}}$ im Gravitationsfeld der Erde, bezogen auf die Erdoberfläche, zusammen.

Für einen Körper der Masse $m$ in einer Entfernung $r$ vom Erdmittelpunkt gilt:

$$E_{\text{pot}} = G \cdot m \cdot M \cdot \left(\frac{1}{r_E} - \frac{1}{r}\right),$$

wobei $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$, $M = 5{,}972 \cdot 10^{24}\text{ kg}$ und $r_E = 6370\text{ km}$.

Für die folgenden Berechnungen soll ein Satellitenpaar der Masse $m = 1{,}000\text{ t}$ auf einer Umlaufbahn gemäß Abbildung 2 in einer Höhe von etwa $400\text{ km}$ mit einem Betrag der Bahngeschwindigkeit von $v = 28000\text{ km/h}$ betrachtet werden.

• Zeigen Sie, dass das Satellitenpaar auf seiner Umlaufbahn eine klassische Gesamtenergie von etwa $E = 34 \cdot 10^9\text{ J}$ besitzt.

• Berechnen Sie die Anzahl der Tage, in welcher die Gesamtenergie des Satellitenpaars – aufgrund der wirkenden Lorentzkraft – um $1\,\%$ abnimmt.

Hinweis: Nehmen Sie bei Ihren Berechnungen vereinfachend an, dass die Geschwindigkeit über den betrachteten Zeitraum konstant bleibt.

• Beurteilen Sie, ob mit dem Space Tether während der etwa einwöchigen KITE-Mission eine Änderung der Umlaufhöhe des Satellitengespanns möglich gewesen wäre.

b)

Nehmen Sie an, sie sollten das KITE-Experiment weiterentwickeln und sich überlegen, wie die wirkende Lorentzkraft vergrößert werden kann.

• Prüfen Sie, welche experimentellen Größen einen direkten Einfluss auf die Größe der wirkenden Lorentzkraft haben und

• stellen Sie dar, wie diese in einer neuen Mission für eine Erhöhung der wirkenden Lorentzkraft beitragen könnten.

Aufgabenstellung: Aufgabe: Elektronenbeugung

Durch das Experiment zur Elektronenbeugung lässt sich eine Welleneigenschaft von Elektronen belegen.

Teilaufgabe 1: Materiewellen

a)

Geben Sie zwei Eigenschaften von Elektronen an, die den Teilchencharakter von Elektronen zeigen.

1923 veröffentlichte der französische Physiker Louis De Broglie seine Gedanken über die Wellentheorie von Teilchen. Er fasste Teilchen in Bewegung jeweils als eine Materiewelle auf und ordnete ihnen eine Wellenlänge zu, sodass es ihnen möglich ist, Welleneigenschaften zu zeigen.

De Broglie ordnete den Materiewellen die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{p}$ zu, wobei $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum und $p$ der Impuls der Teilchen ist.

b)

Zeigen Sie, dass Elektronen der Geschwindigkeit $v = 4{,}19 \cdot 10^7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ eine Materiewellenlänge $\lambda$ von ungefähr $17\,\text{pm}$ besitzen.

c)

Leiten Sie aus der Gleichung $E = h \cdot f$ für die Energie von Photonen der Frequenz $f$ die Gleichung $p = \frac{h}{\lambda}$ für den Photonenimpuls $p$ her. Nutzen Sie dazu die relativistische Beziehung $E = m \cdot c^2$ zwischen Energie $E$, Masse $m$ und Lichtgeschwindigkeit $c$.

Teilaufgabe 2: Elektronenbeugung

Teilaufgabe 1b) hat gezeigt, dass die Materiewellenlänge von Elektronen vergleichsweise sehr klein sein kann. Aus diesem Grund benötigt man Gitter mit sehr kleinen Gitterkonstanten, um die Materiewellenlänge der Elektronen experimentell bestimmen zu können. Deshalb verwendet man beispielsweise Kristalle. Die konstruktive Interferenz der Materiewellen kann hierbei mit dem Prinzip der Bragg-Reflexion beschrieben werden (siehe Abbildung 1).

a)

• Erläutern Sie anhand von Abbildung 1, wie bei der Bragg-Reflexion konstruktive Interferenz von Materiewellen zustande kommt.

• Leiten Sie anhand von Abbildung 1 die Bragg-Gleichung $2 \cdot d \cdot \sin\vartheta = n \cdot \lambda$ her. Hierbei bezeichnet $d$ den Netzebenenabstand, $\vartheta$ den Glanzwinkel und $n$ die Ordnung des Maximums.

Abbildung 2 zeigt die Geometrie einer Anordnung, bei der die Elektronen nach der Bragg-Reflexion auf einem Leuchtschirm nachgewiesen werden können.

b)

Begründen Sie anhand von Abbildung 2, dass sich der Winkel $\vartheta$ zwischen Elektronenstrahl und Kristall (Glanzwinkel) mit folgender Gleichung berechnen lässt: $$\sin 2\vartheta = \frac{r}{D}$$ Dabei bezeichnet $r$ den Radius des Beugungsrings auf dem Beobachtungsschirm und $D$ den Abstand zwischen Kristall und Beobachtungsschirm.

c)

Erläutern Sie, auf welche Weise sich mit der Bragg-Gleichung und der Gleichung aus b) die Materiewellenlänge $\lambda$ der Elektronen bestimmen lässt.

Teilaufgabe 3: Bestimmung der Materiewellenlänge in der Elektronenbeugungsröhre

Die folgende Abbildung 3 zeigt schematisch den Aufbau und ein Foto der Elektronenbeugungsröhre mit der Spannungsversorgung.

a)

Beschreiben Sie anhand von Abbildung 3, wie die Elektronenbeugungsröhre im Versuch aufgebaut ist.

b)

Die Elektronen werden mithilfe der Beschleunigungsspannung $U_B$ beschleunigt. Zeigen Sie, dass sich die Geschwindigkeit $v$ der Elektronen ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte durch $$v = \sqrt{2 \cdot \frac{e}{m} \cdot U_B}$$ bestimmen lässt. Dabei sind $e$ die Ladung und $m$ die Masse des Elektrons.

c)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v$ von Elektronen nach klassischer Rechnung, wenn sie durch eine Spannung von $U_B = 5{,}00\,\text{kV}$ beschleunigt wurden.

In Abbildung 4 sind zwei Negativ-Aufnahmen von Interferenzringen auf dem Fluoreszenzschirm gezeigt, die bei unterschiedlichen Beschleunigungsspannungen $U_B$ aufgenommen wurden. Das weiÑe Raster und das weiÑe Viereck in den Aufnahmen entsteht durch Aufkleber auf der Elektronenbeugungsröhre von auÑen.

d)

• Beschreiben Sie die in Abbildung 4 dargestellten Interferenzbilder.

• Beschreiben Sie, wie man experimentell zeigen kann, dass die Interferenzringe durch einen Elektronenstrahl und nicht durch Röntgenstrahlung erzeugt werden.

In Abbildung 4 erkennt man, dass das Interferenzbild der Elektronen bei der Elektronenbeugungsröhre ringförmig ist. Entscheidend dafür ist die Tatsache, dass man eine Folie aus Graphitpulver (polykristallin) verwendet, also sehr viele unterschiedlich ausgerichtete Kristalle (Kristallite). Abbildung 5 verdeutlicht dies.

• Erläutern Sie anhand von Abbildung 5, wie die Ringe auf dem Beobachtungsschirm entstehen.

• Entscheiden Sie, ob die Beschleunigungsspannung $U_B$ der Elektronen in Abbildung 4 (b) größer oder kleiner ist als der Wert $5{,}00\,\text{kV}$ in Abbildung 4 (a).

Bei der Bestimmung der Materiewellenlänge muss man berücksichtigen, dass es bei Graphitpulver wegen der Kristallstruktur zwei unterschiedliche Netzebenenabstände gibt. Bei Graphit betragen diese $d_1 = 213\,\text{pm}$ und $d_2 = 123\,\text{pm}$. Bei der verwendeten Anordnung beträgt der Abstand des Leuchtschirms von der Graphitfolie $D = 12{,}7\,\text{cm}$. Die eingestellte Beschleunigungsspannung beträgt $U_B = 5{,}00\,\text{kV}$. Beide Interferenzringe in Abbildung 6 sind der Ordnung $n = 1$ zuzuordnen.

e)

• Begründen Sie, welcher Interferenzring zu welchem Netzebenenabstand $d_1 = 213\,\text{pm}$ bzw. $d_2 = 123\,\text{pm}$ gehört.

• Bestimmen Sie anhand von Abbildung 6 die Materiewellenlänge $\lambda$ der eingesetzten Elektronen.

• Berechnen Sie die relative Abweichung Ihrer bestimmten Materiewellenlänge $\lambda$ vom Wert, den die De-Broglie-Gleichung $\lambda = \frac{h}{p} = 17\,\text{pm}$ liefert.

• Berechnen Sie die Radien der zwei Interferenzringe zur Ordnung $n = 2$.

%

Teilaufgabe 4: Interferenz von Materie am Doppelspalt

Heute ist man in der Lage, nicht nur mit Elektronen Interferenzbilder zu erzeugen. Abbildung 7 zeigt den zeitlichen Aufbau eines Interferenzmusters aus einzeln nachgewiesenen Heliumatomen am Doppelspalt.

a)

Beschreiben Sie, wie sich die Beobachtungen in Abbildung 7 mit der Zeit verändern.

b)

Erläutern Sie anhand von Abbildung 7, weshalb weder ein reines Teilchenmodell noch ein reines Wellenmodell das Verhalten der Heliumatome am Doppelspalt richtig beschreiben.

Aufgabe: Kerntechnische Entsorgung

Nach dem Reaktorunglück von Fukushima im Jahr 2011 gilt in der deutschen Energiepolitik als zentrales Prinzip, die Kernenergie zugunsten des Ausbaus erneuerbarer Energien zu beenden. Im Zuge dieser „Energiewende“ beschloss man, bis 2022 schrittweise aus der Kernenergie auszusteigen.

Bis dahin deckten Kernkraftwerke einen beträchtlichen Anteil der Energieversorgung ab.

Teilaufgabe 1: Grundlagen der kerntechnischen Energiegewinnung

a)

Wichtiger Energieträger der kerntechnischen Energiegewinnung ist Uran. Sein Isotop Uran-235 ist instabil.

Hinweis: Wenn die Nuklidkarte für ein Isotop mehr als einen Zerfallsweg erkennen lässt, wählen Sie jeweils den wahrscheinlichsten Weg.

Die Zerfallsreihe von Uran-235 enthält nicht nur $\alpha$-, sondern auch $\beta$-Zerfälle.

b)

In Kernkraftwerken werden Neutronen auf schwere Atome geschossen (beispielsweise Uranatome), sodass diese instabil werden und in mehrere Teile zerbrechen. Dabei kann die Spaltung etwa eines Kerns Uran-235 sehr verschiedene „Spaltprodukte“ ergeben, z. B. die mittelschweren Kerne Caesium und Rubidium oder die ebenfalls mittelschweren Kerne Barium und Krypton.

c)

Die bei solchen Spaltprozessen freigesetzte Energie kann bestimmt werden, indem zunächst die Massendifferenz der betreffenden Isotope berechnet wird.

Berechnen Sie die bei dem folgenden Kernspaltungsprozess umgewandelte Energie in der Einheit „Elektronenvolt“, unter Vernachlässigung der kinetischen Energien der Ausgangsisotope: $$\mathrm{^{235}_{92}U + {^1_0n} \rightarrow {^{139}_{56}Ba} + {^{95}_{36}Kr} + 2\,{^1_0n}}$$ Hinweis: Die Kernmassen lassen sich der nachfolgenden Übersicht entnehmen:

Uran: $m_{\text{Uran}} = 235{,}04393013\,\text{u}$, Barium: $m_{\text{Barium}} = 138{,}90884110\,\text{u}$, Krypton: $m_{\text{Krypton}} = 94{,}93971092\,\text{u}$, Neutron: $m_{\text{Neutron}} = 1{,}00866492\,\text{u}$. Dabei ist $1\,\text{u} = 1{,}66053907\cdot 10^{-27}\,\text{kg}$.

Teilaufgabe 2: Strahlung des radioaktiven Abfalls

„Die Sünden liegen Jahrzehnte zurück, doch sie strahlen weit in die Zukunft. Und das im wörtlichen Sinn: Acht europäische Staaten hatten zwischen 1949 und 1982 atomaren Abfall einfach dem Meer überlassen, insgesamt versenkten sie 222.732 mit Beton oder Asphalt verstärkte Metallfässer an 14 Stellen westlich der europäischen Küste sowie in einem ‚Hurd Deep‘ genannten Gebiet im Ärmelkanal.“ (Tageszeitung „Die Welt“, 23. April 2013)

In der Nähe radioaktiven Abfalls lassen sich in der Regel hohe Strahlungsintensitäten feststellen, die erst nach Durchdringen von Wasserschichten großer „Dicke“ ungefährliche Größenordnungen annehmen.

a)

Ein Maß für radioaktive Strahlung ist die Strahlungsintensität. Die Strahlungsintensität $I$ einer Probe nach Durchdringen einer Wasserschicht der Dicke $d$ kann durch die folgende Formel beschrieben werden: $$I(d) = I_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{d}{d_{1/2}}}$$ $I_0$ ist die Intensität in unmittelbarer Umgebung der Probe und $d_{1/2}$ die „Halbwertsdicke“.

b)

In einem Experiment konnten die folgenden Messwerte der Strahlungsintensität $I$ nach Durchdringen einer Wasserschicht der Dicke $d$ aufgenommen werden. (Dabei bezeichnet „sk“ eine willkürlich gewählte Skaleneinheit.)

$d$ in cm · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 · 60

$I(d)$ in sk · 5 · 3,7 · 2,7 · 1,8 · 1,4 · 0,9 · 0,8

c)

Teilaufgabe 3: Lagerung des radioaktiven Abfalls

Radioaktiver Abfall ist ein unvermeidliches Nebenprodukt aller deutschen Kernkraftwerke, nicht nur in Form von abgebrannten Brennelementen, sondern auch in Form vielfältiger Reaktorbetriebsabfälle.

Einfache Indikatoren für die Gefährlichkeit und die Langlebigkeit eines radioaktiven Stoffes sind seine anfängliche Aktivität sowie seine Halbwertszeit. Für eine gegebene Anfangsmenge radioaktiver Atomkerne gilt: Je kleiner die Halbwertszeit ist, desto größer ist die anfängliche Aktivität.

a)

Erst wenn die Aktivität des radioaktiven Abfalls in etwa das Niveau der natürlichen Radioaktivität erreicht hat, sind hinsichtlich des Strahlenschutzes keine besonderen Maßnahmen mehr vonnöten.

Eine Probe des Isotops Uran-235 besitzt die Aktivität $A = 80\cdot 10^6\,\text{Bq}$. (Die Halbwertszeit von Uran-235 beträgt $T_{1/2} = 7{,}038\cdot 10^8\,\text{a}$.)

b)

Dort, wo radioaktive Abfälle gelagert werden, sind strenge Verhaltensregeln zu beachten. Diese Regeln werden häufig in Form von „Geboten“ zusammengefasst. Drei dieser Gebote lauten:

(1) Aktivität begrenzen

(2) Abstand halten

(3) Aufnahme (etwa mit der Nahrung) vermeiden

Das Fachgebiet der „Atomsemiotik“ beschäftigt sich mit der Frage, welche Zeichen bzw. Symbole geeignet sind, um im Rahmen der Nutzung der Kernenergie ohne Verwendung der Schriftsprache zu kommunizieren.