Aufgabe 3 - Atomhülle und Spektren · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2022

• Erläutern Sie, wie eine Röntgenröhre arbeitet, wobei die atomaren Vorgänge bei der Entstehung der Röntgenstrahlung nicht betrachtet werden sollen.

Lösung: Beim Betrieb der Röntgenröhre werden an der Glühkathode durch den glühelektrischen Effekt Elektronen ausgelöst und dann aufgrund der anliegenden Spannung $U_{\text{B}}$ zur Anode hin beschleunigt. Beim Auftreffen dieser Elektronen auf das Anodenmaterial entsteht dann die Röntgenstrahlung, welche die Röntgenröhre verlassen kann.

Erklären Sie, wie Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung entstehen, indem Sie die jeweiligen elementaren Prozesse und ein passendes Modell des atomaren Aufbaus des Anodenmaterials heranziehen.

Lösung: Die Bremsstrahlung entsteht, wenn ein schnelles Elektron nach dem Eintreten ins Anodenmaterial durch die Wechselwirkung mit einem Atomkern stark abgelenkt wird und dabei einen Teil seiner kinetischen Energie in Form eines Strahlungsquants abgibt. Die charakteristische Röntgenstrahlung entsteht, wenn ein schnelles Elektron nach Eintritt ins Anodenmaterial dort ein Elektron aus einer inneren Schale eines Atoms herausschlägt und dann ein anderes Elektron aus einer äußeren Schale auf diesen freien Platz übergeht. Dabei wird die für diesen Übergang charakteristische Energie abgestrahlt.

• Leiten Sie die Bragg-Bedingung mithilfe einer passenden Skizze her.

Lösung: Die einlaufenden Röntgenwellen werden an den Netzebenen des Einkristalls gestreut. Der Wegunterschied, den eine einlaufende Wellenfront bis zur Streuung an der nächst tieferen Netzebene des Kristalls zurücklegen muss, ist $\Delta s = d \cdot \sin\vartheta$. Nach Streuung an der nächst tieferliegenden Netzebene muss die auslaufende Wellenfront unter Berücksichtigung der Reflexionsbedingung erneut den Wegunterschied $\Delta s$ zusätzlich zurücklegen, sodass der Gesamtgangunterschied $2\cdot\Delta s = 2\cdot d\cdot\sin\vartheta$ beträgt. Zu konstruktiver Interferenz kommt es, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist: $n\cdot\lambda = 2\cdot d\cdot\sin\vartheta$ mit $n = 1, 2, 3, \dots$

• Erklären Sie, weshalb bei der Aufnahme eines Röntgenspektrums für alle Messwerte dieselbe Messzeit $\Delta t$ verwendet werden muss.

Lösung: Damit die erfasste Zahl der Strahlungsereignisse und damit die gemessene Intensität bei allen Winkeleinstellungen miteinander vergleichbar ist.

• Geben Sie die Anzahl der Messpunkte an, die bei dieser Messung aufgenommen werden.

Lösung: 211 / 210

• Zeigen Sie, dass diese Messung in erster Ordnung $n = 1$ den Wellenlängenbereich von $\lambda_{\text{min}} = 2{,}10\cdot 10^{-11}\text{ m}$ bis $\lambda_{\text{max}} = 2{,}84\cdot 10^{-10}\text{ m}$ überdeckt.

Lösung: Mit $n=1$ und $d = 0{,}201\text{ nm} = 2{,}01\cdot 10^{-10}\text{ m}$ gilt: $$\lambda_{\text{min}} = 2\cdot(2{,}01\cdot 10^{-10}\text{ m})\cdot\sin(3^\circ) = 2{,}10\cdot 10^{-11}\text{ m}$$ $$\lambda_{\text{max}} = 2\cdot(2{,}01\cdot 10^{-10}\text{ m})\cdot\sin(45^\circ) = 2{,}84\cdot 10^{-10}\text{ m}$$

• Grenzwellenlänge $\lambda_{\text{Gr}}$ bei $U_{\text{B}} = 25{,}0\text{ kV}$:

Lösung: $4{,}97\cdot 10^{-11}$ m / $49{,}7$ pm / $0{,}0497$ nm

Untersuchen Sie und begründen Sie, ob der kurzwellige Rand des Röntgenspektrums gemessen werden kann.

Lösung: Ja, das kurzwellige Ende kann erfasst werden, da $\lambda_{\text{min}} \le 4{,}97\cdot 10^{-11}\text{ m} \le \lambda_{\text{max}}$ gilt (die Grenzwellenlänge liegt innerhalb des erfassbaren Wellenlängenbereichs).

2a) Abgelesene Wellenlänge $\lambda_{\text{K}\beta}$ aus Abbildung 3

Lösung: $0{,}140$ nm / $1{,}40\cdot 10^{-10}$ m / $140$ pm

2a) Energiedifferenz $\Delta E_{\text{ML}}$ zwischen der L-Schale und der M-Schale im Kupferatom in der Einheit keV

Lösung: $0{,}81$ keV / $810$ eV / $1{,}29\cdot 10^{-16}$ J

• Zeigen Sie mithilfe einer grafischen Auswertung, dass die Messwerte aus Tabelle 1 den oben genannten Zusammenhang bestätigen.

Lösung: Das Auftragen der gemessenen Werte von $\sqrt{\frac{1}{\lambda_{\text{K}\alpha}}}$ gegen $(Z-1)$ ergibt eine Ursprungsgerade und bestätigt damit den proportionalen Zusammenhang dieser beiden Größen.

• Bestimmen Sie anhand dieser grafischen Auswertung einen Wert für die Proportionalitätskonstante $\sqrt{C}$.

Lösung: $2860$ 1/√m / $2860\,\frac{1}{\sqrt{\text{m}}}$

• Bestimmen Sie anhand dieser Auswertung und der Informationen aus Teilaufgabe 2a die Ordnungszahl $Z$ von Kupfer.

Lösung: 29

Zeichnungen aus Teilaufgaben 1a, 1c und 2b

Lösung: 1a) Skizze einer Röntgenröhre: Evakuierter Glaskolben mit Glühkathode, Heizspannung $U_{\text{H}}$, Anode und Beschleunigungsspannung $U_{\text{B}}$. 1c) Skizze zur Herleitung der Bragg-Bedingung: Zwei Netzebenen im Abstand $d$, ein- und auslaufende Wellenfronten unter dem Glanzwinkel $\vartheta$, eingezeichnete Wegunterschiede $\Delta s = d\sin\vartheta$. 2b) Grafische Auswertung (Moseley-Diagramm): Auftragung von $\frac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{K}\alpha}}}$ gegen $Z-1$ als Gerade durch den Ursprung mit Steigungsdreieck.