Abitur Niedersachsen Mathematik 2017 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

a)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $\left(1 \left|\right. \frac{1}{2}\right)$ auf $G_a$ liegt.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

b)

Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$. Begründen Sie, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt, und beschreiben Sie, wie sich seine Lage mit dem Wert von $a$ ändert.

(zur Kontrolle: Extremstellen von $f_a$: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{2}{a}$)

c)

Zeigen Sie, dass die Extrempunkte von $G_a$ für alle Werte von $a$ auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y = \frac{x^2}{\mathrm{e}^2}$ liegen.

d)

Für jeden Wert von $b$ mit $b \in \mathbb{R}^+$ sind die Punkte $A(0|0)$ und $B(b|0)$ sowie der Punkt $C$ gegeben, der die $x$-Koordinate $b$ hat und auf dem Graphen $G_{0{,}2}$ liegt. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $b$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und geben Sie den zugehörigen Flächeninhalt an.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Der Graph $G_a$, die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = p$ mit $p \in \mathbb{R}^+$ schließen ein Flächenstück ein.

e)

Berechnen Sie die Größe dieses Flächenstücks für $a = 0{,}2$. Zeigen Sie, dass der Inhalt des Flächenstücks auch für beliebig große Werte von $p$ kleiner als $250$ ist.

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt schematisch einen Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.

Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen x-Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto -0{,}3x^2 \cdot e^{-0{,}2x}$ für $0 \le x \le 20$ modellhaft die abgebildete Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

a)

Es gilt $k(x) = -0{,}3 \cdot f_{0{,}2}(x)$. Beschreiben Sie, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{0{,}2}$ hervorgeht.

d)

Der horizontal liegende Boden der Kajüte liegt $2{,}20\text{ m}$ unterhalb des Decks. Berechnen Sie die Länge des Bodens in Metern in Längsrichtung des Schiffs.

e)

Der Boden des Stauraums unterhalb der Kajüte hat in Längsrichtung des Schiffs eine Länge von $6\text{ m}$. Ermitteln Sie rechnerisch in Metern, wie weit der Boden des Stauraums unterhalb des Bodens der Kajüte liegt.

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt schematisch einen Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.

Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen x-Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto -0{,}3x^2 \cdot e^{-0{,}2x}$ für $0 \le x \le 20$ modellhaft die abgebildete Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

b)

Berechnen Sie die Höhendifferenz in Metern zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck.

c)

Der Kiel hat in einem Punkt seinen größten Neigungswinkel gegen die Horizontale. Bestimmen Sie die Größe dieses Neigungswinkels.

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt schematisch einen Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.

Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen x-Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto -0{,}3x^2 \cdot e^{-0{,}2x}$ für $0 \le x \le 20$ modellhaft die abgebildete Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Der Endpunkt des Kiels am Heck wird im Modell durch den Punkt $E$ dargestellt, die Bugspitze durch den Punkt $B$. Der Punkt $T(10 \mid k(10))$ ist der Tiefpunkt, der Punkt $P(10 - 5\sqrt{2} \mid k(10 - 5\sqrt{2}))$ ein Wendepunkt des Graphen von $k$.

f)

Verbindet man die Punkte $B$, $P$, $T$ und $E$ in dieser Reihenfolge durch Strecken, so liefert die Summe der Längen dieser Strecken einen Näherungswert für die Länge der Kiellinie. Ermitteln Sie diesen Näherungswert.

(zur Kontrolle: Näherungswert: 21,0)

g)

Beschreiben Sie, wie man unter Verwendung von Streckenzügen zwischen Punkten auf dem Graphen von $k$ einen beliebig genauen Wert für die Länge der Kiellinie erhalten kann.

h)

Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $h'$, so gilt für die Länge $s$ dieses Kurvenstücks:$$s = \int_a^b \sqrt{1 + (h'(x))^2}\,\mathrm{d}x$$Berechnen Sie damit die Länge der Kiellinie im Modell.

Formulieren Sie eine allgemeine Aussage zur Länge der Kiellinie im Vergleich zur Länge der in Teilaufgabe g verwendeten Streckenzüge. Begründen Sie diese Aussage.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · Analysis · CAS

Die Abbildung zeigt schematisch Längsschnitte von fünf Gläsern einer Glas-Serie; Füße und Stiele der Gläser sind nicht abgebildet. Die Gläser sind rotationssymmetrisch, d. h. jeder zur Rotationsachse senkrechte Querschnitt durch ein Glas ist kreisförmig. Im eingezeichneten Koordinatensystem werden die Rotationsachsen der Gläser durch die y-Achse dargestellt; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Die Formen der Gläser sind so gewählt, dass jeder der fünf Längsschnitte modellhaft mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -\frac{3}{512}k \cdot x^4 + \frac{3}{32}k^2 \cdot x^2$ und $k \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden kann. Dabei gehört die Funktion $f_2$ zum Likörglas der Serie, die Funktion $f_3$ zum Cocktailglas. Das Sektglas hat eine Höhe von $12\text{ cm}$, sein Rand einen Durchmesser von $6\text{ cm}$. Die Materialstärke der Gläser soll vernachlässigt werden.

a)

Ordnen Sie dem Likörglas und dem Cocktailglas jeweils den zugehörigen Graphen aus der Abbildung zu.

c)

Begründen Sie, dass der Graph von $f_k$ für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · Analysis · CAS

Die Abbildung zeigt schematisch Längsschnitte von fünf Gläsern einer Glas-Serie; Füße und Stiele der Gläser sind nicht abgebildet. Die Gläser sind rotationssymmetrisch, d. h. jeder zur Rotationsachse senkrechte Querschnitt durch ein Glas ist kreisförmig. Im eingezeichneten Koordinatensystem werden die Rotationsachsen der Gläser durch die y-Achse dargestellt; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Die Formen der Gläser sind so gewählt, dass jeder der fünf Längsschnitte modellhaft mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -\frac{3}{512}k \cdot x^4 + \frac{3}{32}k^2 \cdot x^2$ und $k \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden kann. Dabei gehört die Funktion $f_2$ zum Likörglas der Serie, die Funktion $f_3$ zum Cocktailglas. Das Sektglas hat eine Höhe von $12\text{ cm}$, sein Rand einen Durchmesser von $6\text{ cm}$. Die Materialstärke der Gläser soll vernachlässigt werden.

b)

Bestimmen Sie für das Sektglas den zugehörigen Wert von $k$.

Hinweis: Das Sektglas hat eine Höhe von $12\text{ cm}$ und der Rand einen Durchmesser von $6\text{ cm}$.

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erhöht · B · Analysis · CAS

Die Abbildung zeigt schematisch Längsschnitte von fünf Gläsern einer Glas-Serie; Füße und Stiele der Gläser sind nicht abgebildet. Die Gläser sind rotationssymmetrisch, d. h. jeder zur Rotationsachse senkrechte Querschnitt durch ein Glas ist kreisförmig. Im eingezeichneten Koordinatensystem werden die Rotationsachsen der Gläser durch die y-Achse dargestellt; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Die Formen der Gläser sind so gewählt, dass jeder der fünf Längsschnitte modellhaft mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -\frac{3}{512}k \cdot x^4 + \frac{3}{32}k^2 \cdot x^2$ und $k \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden kann. Dabei gehört die Funktion $f_2$ zum Likörglas der Serie, die Funktion $f_3$ zum Cocktailglas. Das Sektglas hat eine Höhe von $12\text{ cm}$, sein Rand einen Durchmesser von $6\text{ cm}$. Die Materialstärke der Gläser soll vernachlässigt werden.

d)

Bestimmen Sie Lage und Art der Extremstellen von $f_k$.

(zur Kontrolle: Eine Extremstelle ist $x = 2\sqrt{2k}$.)

e)

Weisen Sie für die Schar der Graphen von $f_k$ nach, dass alle Extrempunkte mit positiver x-Koordinate auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y = \frac{3}{4096} x^6$ liegen.

Betrachtet wird nun das Cocktailglas, dessen Längsschnitt für $-2\sqrt{6} \le x \le 2\sqrt{6}$ durch $f_3$ beschrieben wird.

Im Glas steht ein $20\text{ cm}$ langer gerader Strohhalm, dessen Durchmesser vernachlässigt werden soll. Der untere Endpunkt des Strohhalms wird im Modell durch einen Punkt des Graphen von $f_3$ beschrieben, der Strohhalm hat mit seinem unteren Endpunkt also Kontakt zum Glas.

Betrachtet wird nun das Cocktailglas, dessen Längsschnitt für $-2\sqrt{6} \le x \le 2\sqrt{6}$ durch $f_3$ beschrieben wird.

a)

Um das Glas verläuft $2\text{ cm}$ unterhalb des Rands eine eingeschliffene Linie. Berechnen Sie deren Länge.

Betrachtet wird nun das Cocktailglas, dessen Längsschnitt für $-2\sqrt{6} \le x \le 2\sqrt{6}$ durch $f_3$ beschrieben wird.

Im Glas steht ein $20\text{ cm}$ langer gerader Strohhalm, dessen Durchmesser vernachlässigt werden soll. Der untere Endpunkt des Strohhalms wird im Modell durch einen Punkt des Graphen von $f_3$ beschrieben, der Strohhalm hat mit seinem unteren Endpunkt also Kontakt zum Glas.

b)

Die Form eines Glases wird in einem Bereich als konvex bezeichnet, wenn der Graph, der den zugehörigen Längsschnitt darstellt, linksgekrümmt ist. Bestimmen Sie für den Bereich des Cocktailglases, in dem dieses konvex ist, die zugehörigen x-Koordinaten.

$[$ $;$ $]$

Im Glas steht ein $20\text{ cm}$ langer gerader Strohhalm, dessen Durchmesser vernachlässigt werden soll. Der untere Endpunkt des Strohhalms wird im Modell durch einen Punkt des Graphen von $f_3$ beschrieben, der Strohhalm hat mit seinem unteren Endpunkt also Kontakt zum Glas.

c)

Außerdem berührt der Strohhalm das Glas in dem Punkt, der im Modell durch $(4 \mid f_3(4))$ dargestellt wird. Ermitteln Sie die Länge desjenigen Abschnitts des Strohhalms, der zwischen dem Berührpunkt und seinem oberen Endpunkt liegt.

d)

Die Lage des Strohhalms wird nun so verändert, dass sein unterer Endpunkt im Modell durch $P(-1 \mid f_3(-1))$ dargestellt wird, der Punkt, in dem er das Glas berührt, durch $Q(u \mid f_3(u))$ mit $u > 0$. Bestimmen Sie den Wert von $u$.

Betrachtet wird nun das oben beschriebene Sektglas der Serie. Ein Hochpunkt des Graphen der zugehörigen Funktion hat die Koordinaten $x \approx 5{,}7$ und $y \approx 25{,}2$, ein Wendepunkt die Koordinaten $x \approx 3{,}3$ und $y \approx 14{,}0$.

Das Sektglas wird so aufgestellt, dass seine Rotationsachse vertikal ist. Es wird mit Flüssigkeit gefüllt. Für $-3 \le x \le 3$ kann der Längsschnitt des Glases näherungsweise durch die Funktion $p$ mit $p(x) = \frac{4}{3}x^2$ beschrieben werden.

Betrachtet wird nun das oben beschriebene Sektglas der Serie. Ein Hochpunkt des Graphen der zugehörigen Funktion hat die Koordinaten $x \approx 5{,}7$ und $y \approx 25{,}2$, ein Wendepunkt die Koordinaten $x \approx 3{,}3$ und $y \approx 14{,}0$.

a)

Das Sektglas unterscheidet sich hinsichtlich der Form wesentlich vom Cocktailglas. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang unter Berücksichtigung der gegebenen Punkte des zum Sektglas gehörenden Graphen zwei wesentliche Unterschiede.

Betrachtet wird nun das oben beschriebene Sektglas der Serie. Ein Hochpunkt des Graphen der zugehörigen Funktion hat die Koordinaten $x \approx 5{,}7$ und $y \approx 25{,}2$, ein Wendepunkt die Koordinaten $x \approx 3{,}3$ und $y \approx 14{,}0$.

Das Sektglas wird so aufgestellt, dass seine Rotationsachse vertikal ist. Es wird mit Flüssigkeit gefüllt. Für $-3 \le x \le 3$ kann der Längsschnitt des Glases näherungsweise durch die Funktion $p$ mit $p(x) = \frac{4}{3}x^2$ beschrieben werden.

b)

Zeigen Sie unter Verwendung der Näherung durch die Funktion $p$, dass sich der Radius der Oberfläche der Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ durch die Gleichung $r(h) = \frac{1}{2}\sqrt{3h}$ bestimmen lässt.

c)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $p$ sowie den Graphen der in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktion $r: h \mapsto r(h)$ jeweils in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

Betrachtet wird nun das oben beschriebene Sektglas der Serie. Ein Hochpunkt des Graphen der zugehörigen Funktion hat die Koordinaten $x \approx 5{,}7$ und $y \approx 25{,}2$, ein Wendepunkt die Koordinaten $x \approx 3{,}3$ und $y \approx 14{,}0$.

Das Sektglas wird so aufgestellt, dass seine Rotationsachse vertikal ist. Es wird mit Flüssigkeit gefüllt. Für $-3 \le x \le 3$ kann der Längsschnitt des Glases näherungsweise durch die Funktion $p$ mit $p(x) = \frac{4}{3}x^2$ beschrieben werden.

d)

Ermitteln Sie unter Verwendung von $r(h)$ das Volumen der Flüssigkeit bei einer Füllhöhe von $6\text{ cm}$.

Der Längsschnitt des Likörglases soll für $0 \le x \le 4$ mithilfe zweier in $\mathbb{R}$ definierter quadratischer Funktionen $p_1$ und $p_2$ beschrieben werden, die folgende Eigenschaften besitzen:

• Die Scheitelpunkte der Graphen von $p_1$ und $p_2$ sollen im Tiefpunkt bzw. im Hochpunkt des Graphen von $f_2$ liegen.

• Die Graphen von $p_1$ und $p_2$ sollen ohne Knick ineinander übergehen. Der Punkt, in dem die beiden Graphen ineinander übergehen, hat die gleiche $x$-Koordinate wie der Wendepunkt des Graphen von $f_2$.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen von $p_1$ und $p_2$.

$p_1(x)$:

$p_2(x)$: