Abitur Niedersachsen Mathematik 2022 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30 - p) \cdot x^3 + (p - 90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

a)

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15:00 Uhr hat. Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15:00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute.

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30 - p) \cdot x^3 + (p - 90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

b)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

d)

Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15:01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $$f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

e)

Der Übergang von der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit vor 15:00 Uhr zur Fahrt nach 15:00 Uhr erfolgt sowohl hinsichtlich der Geschwindigkeit als auch hinsichtlich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit ohne Sprung. Die Funktionen $f_p$ werden diesen beiden Anforderungen gerecht. Geben Sie die zugehörigen Bedingungen an, die die Funktionen $f_p$ erfüllen.

f)

Geben Sie denjenigen Wert von $p$ an, für den $f_p(x)$ mit dem Term der Funktion $f$ übereinstimmt. Beurteilen Sie mithilfe des zugehörigen Graphen, ob die Funktionen $f_{-80}$ und $f_{250}$ die Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

$p =$

g)

Gegeben sind die folgenden Informationen:

Für $p \ne 0$ liefert $f_p'(x) = 0$ neben $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$ die Lösung $x_3 = 1 - \frac{90}{p}$.

Es gilt $x_3 \le 0 \iff 0 < p \le 90$ und $x_3 \ge 2 \iff -90 \le p < 0$.

Beurteilen Sie auch unter Verwendung dieser Informationen die Funktionen $f_p$ mit $p \ne 0$ im Hinblick auf ihre Eignung zur Beschreibung der angenommenen Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr.

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30 - p) \cdot x^3 + (p - 90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

c)

Bestimmen Sie einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15:03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau $7\ \text{km}$ zurücklegt.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$. Die Punkte $E_1(-2 \mid -1)$ und $E_2(2 \mid 3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

a)

Bestimmen Sie die passenden Werte von $a$, $b$ und $c$.

(zur Kontrolle: $a = 2$, $b = \frac{\pi}{4}$, $c = 1$)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$. Die Punkte $E_1(-2 \mid -1)$ und $E_2(2 \mid 3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

b

Berechnen Sie den Wert des Terms $\int_{-2}^2 s(x)\,\mathrm{d}x$.

Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$. Die Punkte $E_1(-2 \mid -1)$ und $E_2(2 \mid 3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

Die Punkte des Graphen von $s$ mit der y-Koordinate $1$ sind die Wendepunkte des Graphen.

c)

Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt des Graphen von $s$ eine ganzzahlige x-Koordinate hat und dass der Graph von $s$ in jedem seiner Wendepunkte entweder die Steigung $-\frac{\pi}{2}$ oder die Steigung $+\frac{\pi}{2}$ hat.

d)

Für jeden Wendepunkt des Graphen von $s$ wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt $P(2022 \mid 2022)$ verläuft. Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den Graphen von $s$ ist.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · Analysis · MMS

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA - Analytische Geometrie/Lineare Algebra, AG/LA (A1) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

1 Aufgabe

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

1 Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f_1$ an. Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von $f_1$ für $x \to +\infty$ an.

Hochpunkt: ( |)

$\lim_{x \to +\infty} f_1(x) =$

b)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f_1$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

e)

Für einen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(1|e)$ auf dem Graphen von $f_a$. Berechnen Sie diesen Wert von $a$ die Größe des Winkels, den der Graph von $f_a$ mit der Parallele zur x-Achse durch den Punkt $P$ einschließt.

$a =$

°

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · Analysis · MMS

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA - Analytische Geometrie/Lineare Algebra, AG/LA (A1) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

1 Aufgabe

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

1 Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

d)

Der Graph von $f_0$ ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse an.

$m =$

$S_y$: ( |)

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · Analysis · MMS

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA - Analytische Geometrie/Lineare Algebra, AG/LA (A1) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

1 Aufgabe

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

1 Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

c)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt$$F_1(u) - F_1(0) \approx \int_{0}^{2022} f_1(x) \, dx$$

f)

Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass$$\int_{-0{,}5}^{1} f_1(x) \, dx = \int_{0{,}5}^{1} f_1(x) \, dx$$gilt.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

a)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$: $f_a(0) = 0$

$f_a'(0) = f_0'(0)$

$f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

b)

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:

Wird der Graph von $f_a$ mit dem gleichen Faktor $k > 0$ sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

d)

Beschreiben Sie die Lage der Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y < 0$ im Koordinatensystem und begründen Sie, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. Zeigen Sie, dass jeder Punkt, der sowohl eine positive x-Koordinate als auch eine positive y-Koordinate hat, auf genau einem Graphen der Schar liegt.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

c)

Für $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ stimmen die Wendestellen von $f_a$ mit den Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0$ überein. Geben Sie für alle Werte von $a \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt.

f)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $(v \mid f_a(v))$ des Graphen von $f_a$, der Punkt $(0 \mid 2)$, der Koordinatenursprung und der Punkt $(v \mid 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$, für den das Viereck den Flächeninhalt $144$ hat.