Problema 5 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2024

Tema: Estudio de funciones: límites, continuidad, derivadas y representación · Del examen Extraordinaria (2024)

Enunciado

Se considera la función h(x)=ax+x2h(x) = ax + x^2, donde aa es un parámetro real. Se pide:

a)

El valor de aa que hace que la gráfica de la función y=h(x)y = h(x) tenga un mínimo relativo en la abscisa x=−34x = -\frac{3}{4}. (3 puntos)

b)

Para el valor aa del apartado anterior, dibuja las curvas y=h(x)y = h(x) e y=h′(x)y = h'(x). (2 puntos)

c)

Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)

Enunciado: Problema 5 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) El valor de a que hace que la gráfica de la función y = h(x) tenga un mínimo relativo en la abscisa x = -3/4.

Solución: a=32a = \frac{3}{2}

b) Para el valor a del apartado anterior, dibuja las curvas y = h(x) e y = h'(x).

Solución: Representación gráfica de la parábola convexa h(x)=32x+x2h(x) = \frac{3}{2}x + x^2 (con vértice en (−3/4,−9/16)(-3/4, -9/16)) y de la recta derivada h′(x)=2x+32h'(x) = 2x + \frac{3}{2}.

c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas.

Solución: 12548\frac{125}{48}

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