Ejercicio B.3 · Física PAU País Vasco Extraordinaria 2024

B.3.- Líneas de fuerza y superficies equipotenciales en el campo gravitatorio creado por una masa puntual (o esférica).

Solución: 1. Líneas de fuerza (o de campo): - Son líneas imaginarias tangentes en cada punto al vector intensidad de campo gravitatorio $\vec{g}$. - Su sentido coincide con el de $\vec{g}$, indicando la dirección y sentido en que se movería una masa testigo abandonada en reposo. - Para una masa puntual o esférica $M$, el campo es central y atractivo: $$\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\vec{u}_r$$ Por tanto, las líneas de fuerza son semirrectas radiales que convergen hacia el centro de la masa $M$. - La densidad de líneas por unidad de superficie perpendicular es proporcional a la intensidad del campo. 2. Superficies equipotenciales: - Son el lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial gravitatorio ($V = \text{cte}$). - El potencial creado por una masa puntual a distancia $r$ es: $$V(r) = -G\frac{M}{r}$$ - Por tanto, $V = \text{cte} \implies r = \text{cte}$. Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas centradas en la masa $M$. 3. Relación entre líneas de fuerza y superficies equipotenciales: - El trabajo realizado por el campo para trasladar una masa $m'$ entre dos puntos de una misma superficie equipotencial ($V_A = V_B$) es nulo: $$W = -m'\Delta V = -m'(V_B - V_A) = 0$$ - Por definición diferencial de trabajo: $$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r} = m'\vec{g}\cdot d\vec{r} = 0$$ Como en general $\vec{g} \neq 0$ y $d\vec{r} \neq 0$, se cumple que $\vec{g} \perp d\vec{r}$. - En consecuencia, las líneas de fuerza son perpendiculares en cada punto a las superficies equipotenciales. - Además, las líneas de fuerza apuntan en el sentido en que el potencial gravitatorio disminuye (hacia valores más negativos conforme nos acercamos a la masa).