Ejercicio B.2 · Física PAU País Vasco Extraordinaria 2024

Leyes de Kepler. Enunciados. Deducción de la 3ª Ley para órbitas circulares, a partir de la Ley de Gravitación.

Solución: 1. Primera Ley (Ley de las órbitas): Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse. 2. Segunda Ley (Ley de las áreas): El radio vector que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Como consecuencia, la velocidad areolar es constante, lo cual se debe a la conservación del momento angular ya que la fuerza gravitatoria es central. 3. Tercera Ley (Ley de los periodos): Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de sus semiejes mayores: $T^2 = C \cdot r^3$. Deducción para órbitas circulares: Para un planeta o satélite de masa $m$ que describe una órbita circular de radio $r$ en torno a una masa central $M$, la única fuerza que actúa es la fuerza gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta: $$F_g = F_c$$ $$G\frac{M m}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \Rightarrow v^2 = \frac{G M}{r}$$ Como el movimiento circular es uniforme, la velocidad orbital se relaciona con el periodo $T$ mediante: $$v = \frac{2\pi r}{T} \Rightarrow v^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}$$ Igualando ambas expresiones para $v^2$: $$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}$$ Despejando $T^2$: $$T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{G M}\right) r^3$$ Como $G$ y $M$ son constantes, el cociente $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M}$ es constante, quedando demostrada la tercera ley de Kepler.