Pregunta 2 - Análisis · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia Extraordinaria 2026

Enunciado

Dada la función:

$f(x) = x^3 \cdot (x - 5)^2$

Se pide:

Determine el dominio de $f(x)$ . [0,25 puntos]

Calcule la función derivada $f'(x)$ y determine los puntos críticos. [0,75 puntos]

Estudie la monotonía de $f(x)$ , indicando los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

Determine el valor o valores de $x$ donde la función tiene un extremo relativo. Calcule el valor de la función en dichos puntos. [0,5 puntos]

Enunciado: Pregunta 2 - Análisis · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia Extraordinaria 2026

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determine el dominio de f(x). [0,25 puntos]

Solución: $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$ / $(-\infty, +\infty)$

b) Calcule la función derivada f'(x) [0,5 puntos]

Solución: $f'(x) = x^2\cdot (x - 5)\cdot (5x - 15)$ / $5x^4 - 40x^3 + 75x^2$ / $5x^2(x - 3)(x - 5)$

b) Determine los puntos críticos [0,25 puntos]

Solución: $x = 0$ , $x = 3$ , $x = 5$

c) Intervalos de crecimiento [0,5 puntos]

Solución: $(-\infty, 0) \cup (0, 3) \cup (5, +\infty)$ / $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$

c) Intervalos de decrecimiento [0,5 puntos]

Solución: $(3, 5)$

d) Máximo relativo: valor de x y valor de la función en dicho punto [0,25 puntos]

Solución: $(3, 108)$

d) Mínimo relativo: valor de x y valor de la función en dicho punto [0,25 puntos]

Solución: $(5, 0)$

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