PREGUNTA 2 · Dibujo técnico II PAU La Rioja Ordinaria 2024

Dada la directriz "d" y los puntos A y B de una parábola, se pide: 1. Dibujar el foco, el eje y el vértice de la parábola. 2. Dibujar la parábola con al menos 5 puntos. 3. Trazar la tangente y la normal a la parábola en el punto B.

Solución: Construcción geométrica paso a paso: 1. Determinación del foco $F$, eje $e$ y vértice $V$: - Por definición de la parábola, para cualquier punto de ella la distancia al foco es igual a la distancia a la directriz: $d(A, F) = d(A, d) = r_A$ y $d(B, F) = d(B, d) = r_B$. - Trazar las perpendiculares desde $A$ y $B$ a la directriz $d$, obteniendo sus proyecciones $A_d$ y $B_d$ sobre $d$, y las distancias $r_A = |AA_d|$ y $r_B = |BB_d|$. - Con centro en $A$ y radio $r_A$, trazar un arco de circunferencia; con centro en $B$ y radio $r_B$, trazar otro arco. La intersección de ambos arcos proporciona dos posibles focos; se elige el foco $F$ que se encuentra más próximo a la directriz $d$, tal como pide el enunciado. - Eje $e$: recta perpendicular a la directriz $d$ que pasa por el foco $F$. Corta a la directriz en el punto $D$. - Vértice $V$: punto medio del segmento $DF$. 2. Trazado de la parábola con al menos 5 puntos: - Ya se conocen tres puntos: el vértice $V$, el punto $A$ y el punto $B$. - Se obtienen puntos adicionales mediante paralelas a la directriz situadas a distancias crecientes a la derecha del vértice $V$ (por ejemplo, por el foco para obtener los extremos del *latus rectum*, con radio igual a la distancia de dicha paralela a la directriz) o por el método por puntos (haces proyectivos o circunferencias con centro en $F$ e intersección con paralelas correspondientes). - Se dibuja la curva cónica continua que pasa por estos puntos. 3. Tangente y normal en el punto $B$: - La tangente en un punto de la parábola es la mediatriz del segmento que une el foco $F$ con la proyección ortogonal del punto sobre la directriz ($B_d$), o equivalentemente, la bisectriz del ángulo formado por el radio focal $BF$ y la perpendicular a la directriz por $B$. - Se traza la mediatriz del segmento $F B_d$, que es la tangente $t_B$. - La normal $n_B$ es la recta perpendicular a la tangente $t_B$ trazada por el punto $B$.