Pregunta 3 · Dibujo técnico II PAU La Rioja Extraordinaria 2024

Obtener la intersección, vértices y tangentes de dos parábolas con directriz común y focos F1 y F2.

Solución: 1. Intersección de las parábolas ($I_1$ e $I_2$): Son los puntos que equidistan simultáneamente de $F_1$, $F_2$ y de la directriz $d$. Por tanto, pertenecen a la mediatriz del segmento $F_1F_2$. Además, el centro de cualquier circunferencia tangente a la directriz y que pase por $F_1$ y $F_2$ es un punto de corte. Se traza la mediatriz de $F_1F_2$ y, mediante el problema de Apolonio (circunferencias que pasan por dos puntos $F_1, F_2$ y son tangentes a la recta $d$), se determinan los dos puntos de tangencia en $d$ ($T_1$ y $T_2$); las perpendiculares a $d$ por $T_1$ y $T_2$ cortan a la mediatriz en los puntos de intersección $I_1$ e $I_2$. 2. Vértices ($V_1$ y $V_2$): Se trazan perpendiculares a $d$ desde cada foco ($F_1$ y $F_2$) para hallar los ejes y los puntos de corte con la directriz ($D_1$ y $D_2$). Los vértices $V_1$ y $V_2$ son los puntos medios de los segmentos $F_1D_1$ y $F_2D_2$, respectivamente. 3. Tangentes desde los puntos de intersección: La tangente a una parábola en un punto es la mediatriz del segmento que une el foco con la proyección ortogonal del punto sobre la directriz (o bisectriz de los radios vectores). En $I_1$, la tangente a la primera parábola es la mediatriz de $F_1T_1$ (o bisectriz de $\widehat{F_1I_1T_1}$), y a la segunda parábola es la mediatriz de $F_2T_1$. De forma análoga, en $I_2$ las tangentes son las mediatrices de $F_1T_2$ y $F_2T_2$.