Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Cantabria 2025 · Extraordinaria

Apartado 1 [3 puntos]. Opción 1.

Dadas las matrices:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 6 & 5 \end{pmatrix} \quad y \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Realice las siguientes tareas:

Tarea 1.1A

[1 PUNTO]. Estudie para qué valores del parámetro $a$ la matriz $M$ tiene inversa.

$a_1 =$

$a_2 =$

Tarea 1.1B

[2 PUNTOS]. Para $a = 1$, obtenga la matriz $X$ de la siguiente ecuación:

$$MX = 2N$$

$$\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} =$$

Un pastelero dispone de un máximo de 810 minutos para producir una serie de sobaos y quesadas. Para la elaboración de cada sobao se requieren 45 minutos y 200 gramos de mantequilla, y para la elaboración de cada quesada se requieren 90 minutos y 100 gramos de mantequilla. Por limitaciones logísticas, la cantidad total de sobaos y quesadas producidas no puede exceder de 11 unidades y se dispone únicamente de 1600 gramos de mantequilla. El beneficio que se obtiene por cada sobao es de 1,5€ y el que se obtiene por cada quesada es de 2€. La intención del pastelero es maximizar el beneficio total. Realice las siguientes tareas:

1.2A

[1 PUNTO]. Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.

1.2B

[1 PUNTO]. Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.

1.2C

[0,75 PUNTOS]. ¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total?

1.2D

[0,25 PUNTOS]. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

Dada la función $f(x)$:

$$f(x) = (x + 2)(x - 3)^2$$

Tarea 2.1A

[1,5 PUNTOS] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos.

Tarea 2.1B

[1 PUNTO] Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente $f(x)$ señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos.

Dada la función $f(x)$:

$$f(x) = (x + 2)(x - 3)^2$$

Tarea 2.1C

[1,5 PUNTOS] Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas $OX$.

$\text{u}^2$

Apartado 3 [3 puntos]

Opción 1.

Se sabe que el número de viajes realizados mensualmente por los usuarios de una línea de autobuses sigue una distribución normal con desviación estándar $\sigma = 5$. Para una muestra de 225 usuarios, seleccionados aleatoriamente, se obtiene una media de 21 viajes por mes. Realice las siguientes tareas:

Tarea 3.1A

[1,5 PUNTOS]. Calcule el intervalo de confianza del 93% para la media de los viajes mensuales.

Tarea 3.1B

[1,5 PUNTOS]. Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97%, sea de 1 viaje al mes.

Tabla de la distribución normal $N(0,1)$ facilitada en el examen:

En una compañía de seguros de automóviles, el 17% de los clientes tiene menos de 30 años, el 60% tiene entre 30 y 60 años, y el resto es mayor de 60 años. El historial de partes de accidente del último año indica lo siguiente:

entre los menores de 30 años, 3 de cada 5 no presentaron ningún parte;

entre los clientes de 30 a 60 años, 9 de cada 10 no presentaron ningún parte;

entre los mayores de 60 años, 3 de cada 4 no presentaron ningún parte.

Se selecciona al azar un cliente de la compañía. Realice las siguientes tareas:

3.2A

[1 PUNTO]. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente el año pasado?

3.2B

[1 PUNTO]. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga 30 años o más y no presentara un parte de accidente el año pasado?

3.2C

[1 PUNTO]. Si se sabe que el cliente presentó un parte de accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años?