Pregunta 2. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2025

Tema: Derivadas: estudio y representación de funciones · Del examen Ordinaria (2025)

Enunciado

Se considera la función

f(x)={x2,si 0≤x<4,3−(x−5)2,si 4≤x.f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2}, & \text{si } 0\le x<4,\\ 3-(x-5)^2, & \text{si } 4\le x.\end{cases}

(a)

(1 punto) Estudia si la función es continua en su dominio.

(b)

(1 punto) Estudia los intervalos de crecimiento de la función. Estudia si la función tiene extremos relativos. Haz un esbozo de la gráfica de la función.

(c)

(0.5 puntos) Suponiendo que la función representa el número de millones de bacterias de un tipo que existen en una determinada muestra, en cada instante x, ¿se llegaría a alcanzar en algún instante el valor 5 millones?

Enunciado: Pregunta 2. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Valor de f(4)

Solución: 22

(a) Estudia si la función es continua en su dominio.

Solución: Es continua en todo su dominio [0,+∞)[0,+\infty).

Valor de x en el que la derivada se anula para x > 4

Solución: 55

(b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y extremos relativos

Solución: Crece en (0,4)(0,4) y en (4,5)(4,5); decrece en (5,+∞)(5,+\infty). Tiene un máximo relativo en x=5x=5, con f(5)=3f(5)=3.

Haz un esbozo de la gráfica de la función.

Solución: Recta creciente y=x/2y=x/2 desde (0,0)(0,0) hasta (4,2)(4,2), continua en x=4x=4 con la parábola invertida y=3−(x−5)2y=3-(x-5)^2, que sigue creciendo hasta el vértice (máximo) en (5,3)(5,3) y después decrece, cortando el eje X en x=5+3x=5+\sqrt3.

(c) ¿Se llegaría a alcanzar en algún instante el valor 5 millones?

Solución: No se llega a alcanzar nunca.

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