Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2020 · Examen D

BLOQUE A

EJERCICIO 1

(2.5 puntos) Un cocinero tiene que hacer el postre para una cena y le han encargado dos de sus mejores creaciones: Delicia Roja y Delicia Negra. Para elaborar $1\text{ kg}$ de Delicia Roja son necesarias $3$ tarrinas de fresas y $1$ tableta de chocolate y para elaborar $1\text{ kg}$ de Delicia Negra se necesita $1$ tarrina de fresas y $2$ tabletas de chocolate. Dispone de $15$ tarrinas de fresas y $10$ tabletas de chocolate. Además, la cantidad de Delicia Negra no debe ser inferior a $1.5\text{ kg}$ y tampoco debe ser superior al doble de Delicia Roja. Si cada kilogramo de Delicia Roja le reporta un beneficio de $3$ euros y el de Delicia Negra $5$ euros, averigüe qué cantidad de cada postre debe elaborar para conseguir un beneficio máximo y a cuánto asciende ese beneficio.

kg

kg

€

EJERCICIO 2

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = A \cdot A^t$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, siendo $a$ un parámetro real.

a)

[0.75 puntos] ¿Para qué valores del parámetro $a$ existe la inversa de la matriz $B$?

b)

[0.75 puntos] Para $a = 1$, calcule la inversa de la matriz $B$.

Fila 1:

Fila 2:

c)

[1 punto] Para $a = 1$, resuelva la ecuación matricial $B^t \cdot X + 9C = O$.

Fila 1:

Fila 2:

BLOQUE B

EJERCICIO 3

a)

(1.2 puntos) Calcule la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

$$f(x) = \ln(3x^2 - 3) + \frac{1 - 2x}{x + 2} \qquad g(x) = 2e^{x^3} + x^2(3x + 4)^3$$

b)

(1.3 puntos) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones $h(x) = x^2 + 1$ y $p(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$, en el punto de abscisa $x = 1$. ¿En qué punto se cortan ambas rectas?

BLOQUE B

EJERCICIO 4

Se considera la función

$$f(x) = \begin{cases} ax + \frac{1}{2} & \text{si } x \le -1 \\ \frac{x+1}{x+3} & \text{si } -1 < x \le 1 \\ x^2 - bx & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

(1.5 puntos) Halle $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio. Para esos valores de $a$ y $b$, ¿es $f$ derivable en $x = -1$? ¿Y en $x = 1$?

b)

(0.5 puntos) Para $a = -1$ y $b = 4$, estudie la monotonía de la función $f$.

c)

(0.5 puntos) Para $a = -1$ y $b = 4$, calcule $\displaystyle\int_1^2 f(x) dx$.

BLOQUE C

EJERCICIO 5

Tres personas se encargan de los cobros de la caja de un supermercado. El mes pasado, la primera de ellas realizó el $30\%$ de los cobros, la segunda el $45\%$ y la tercera el resto. La dirección del supermercado ha comprobado que de los cobros realizados por la primera persona, el $1\%$ son erróneos, que la segunda cometió errores en el $3\%$ de los cobros y la tercera en el $2\%$.

a)

[1.5 puntos] Calcule la probabilidad de que un cobro elegido al azar haya sido erróneo.

b)

[1 punto] Se elige al azar un cobro correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido realizado por la segunda persona?

BLOQUE C

EJERCICIO 6

En un centro de enseñanza secundaria, el $11\%$ de los profesores ocupan cargos directivos y el $13\%$ pertenecen a alguna comisión. Además, el $6\%$ ocupan un cargo directivo y pertenecen a alguna comisión.

a)

[1 punto] ¿Cuál es el porcentaje de profesores que pertenecen a alguna comisión y no ocupan ningún cargo directivo?

%

b)

[1 punto] Calcule el porcentaje de profesores que no ocupan cargos directivos ni pertenecen a ninguna comisión.

%

c)

[0.5 puntos] De los profesores que ocupan un cargo directivo, ¿qué porcentaje pertenece a alguna comisión?

%

BLOQUE D

EJERCICIO 7

La distancia en kilómetros recorrida al día por los vehículos de una empresa de coches de alquiler sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza $225$. Se toma una muestra aleatoria simple de $36$ coches y se obtiene el intervalo de confianza $(153.65, 162.35)$ para la media poblacional.

a)

[1 punto] Calcule la media muestral y el error máximo de estimación para ese intervalo de confianza.

b)

[0.5 puntos] Si con el mismo nivel de confianza, aumentamos el tamaño muestral, ¿cómo se vería afectado el error?

c)

[1 punto] Con un nivel de confianza del $95\%$, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a $3\text{ km}$?

El tiempo de espera para ser atendido en un servicio hospitalario es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica de 2 meses. Tomada una muestra al azar de 9 pacientes que han utilizado ese servicio, se han registrado los siguientes tiempos de espera en meses:

8.5 3.7 4.3 3.6 5.6 4.8 1.0 1.4 6.0

a)

(1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo de espera medio poblacional.

b)

(1 punto) Con un nivel de confianza del 97 %, ¿qué tamaño muestral mínimo se ha de tomar para que el error máximo cometido en la estimación del tiempo de espera medio poblacional no exceda de un mes?