Bloque B - Ejercicio 1 · Dibujo técnico II PAU Andalucía Ordinaria Suplente 2022

Dado el foco F de una elipse, una recta T tangente a la misma y el punto F'' simétrico del foco F' respecto de T, se pide: 1. Determinar el foco F', el centro O, el punto P de tangencia de la recta T y los ejes de la cónica. 2. Dibujar la elipse. 3. Trazar la normal a la cónica en P y la tangente en su punto diametralmente opuesto P'.

Solución: 1. Foco F' y punto de tangencia P: - Como $F''$ es el simétrico de $F'$ respecto a la recta $T$, se halla $F'$ trazando una perpendicular a $T$ desde $F''$ y transportando la misma distancia al otro lado de $T$. - Por las propiedades focales de la elipse, el simétrico de un foco respecto a cualquier tangente pertenece a la circunferencia focal del otro foco y está alineado con el punto de tangencia y dicho foco: la recta que une $F$ con $F''$ corta a la recta tangente $T$ en el punto de tangencia $P$. - La distancia entre $F$ y $F''$ es la longitud del eje mayor: $d(F, F'') = 2a$. 2. Centro O y ejes de la cónica: - El centro $O$ de la elipse es el punto medio del segmento $FF'$. - El eje mayor se sitúa sobre la recta que contiene a los focos $F$ y $F'$, con centro en $O$ y longitud $2a = d(F, F'')$, determinando los vértices $A$ y $B$ a distancia $a$ de $O$. - El semieje menor $b$ se obtiene perpendicularmente en $O$ aplicando la relación métrica $a^2 = b^2 + c^2$, con $c = d(O, F)$. Trazando un arco con centro en $F$ (o $F'$) y radio $a$, este corta a la mediatriz de $FF'$ en los vértices del eje menor $C$ y $D$. 3. Trazado de la elipse: - Construcción de la elipse mediante puntos por el método de los radios vectores o afinidad, pasando por los cuatro vértices y por el punto $P$. 4. Normal en P y tangente en P': - La normal a la cónica en $P$ es la recta perpendicular a la tangente $T$ por $P$ (que coincide con la bisectriz del ángulo $\widehat{FPF'}$). - El punto diametralmente opuesto $P'$ es el simétrico de $P$ respecto al centro $O$. - La tangente a la elipse en $P'$ es la recta paralela a $T$ trazada por $P'$.