Examen de Álgebra UOC 2024 · - Enero 2024

Ejercicio 1. Números complejos y raíces quintas

Resolved de forma razonada las siguientes cuestiones:

a. Dados los números complejos $z_1 = m + 2i$, $z_2 = i$ y $z_3 = 4 + ni$, determinad los valores reales de $m$ y $n$ ($m, n \in \mathbb{R}$) que satisfacen la relación:$$\frac{z_1^2}{z_2} = z_3$$

$m =$

$n =$

Ejercicio 1. Números complejos y raíces quintas

Resolved de forma razonada las siguientes cuestiones:

b. Calculad las raíces quintas del número complejo $3 - 2i$. Expresad las soluciones en forma polar, indicando los argumentos en grados sexagesimales dentro del intervalo $[0^{\circ}, 360^{\circ})$.

Desarrollad los cálculos para hallar el módulo común y los cinco argumentos correspondientes:

Ejercicio 2. Discusión y resolución de un sistema lineal

Considerad el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas $x, y, z$:$$\begin{cases}-x + ky + z = k \\kx + ay + (k + 2)z = 2a \\2x + 3ay + 4z = 6a - k\end{cases}$$Donde $a$ es un valor numérico fijo y $k \in \mathbb{R}$ es un parámetro real.

a.

Discutid la compatibilidad del sistema según los diferentes valores del parámetro $k$.

b.

Resolved el sistema lineal para el caso concreto en el que $k = a + 1$.

Ejercicio 3. Espacios vectoriales, bases y cambios de base

Considerad los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$, dependientes del parámetro $a$:

$$e_1 = (1, -1, 0, 1), \quad e_2 = (0, 1, 1, 1), \quad e_3 = (0, 0, 0, a + 3), \quad e_4 = (2, 0, 2, 2a + 10)$$$$v = (3, -2, 1, 3a + 13)$$ Sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ el subespacio generado por dichos vectores.

Determinad justificadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a.

La dimensión del subespacio $F$ es igual a 4.

b.

El conjunto $A = \{(1,-1,0,1), (0,1,1,1), (0,0,0,a+3)\}$ constituye una base de $F$ (asumiendo $a \neq -3$).

Ejercicio 3. Espacios vectoriales, bases y cambios de base

Considerad los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$, dependientes del parámetro $a$:

$$e_1 = (1, -1, 0, 1), \quad e_2 = (0, 1, 1, 1), \quad e_3 = (0, 0, 0, a + 3), \quad e_4 = (2, 0, 2, 2a + 10)$$$$v = (3, -2, 1, 3a + 13)$$ Sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ el subespacio generado por dichos vectores.

Determinad justificadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

c.

El vector $v$ pertenece a $F$ y sus coordenadas en la base $A$ son $(3, 1, 3)$.

d.

La matriz dada por $$C_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ es la matriz de cambio de base desde la base $A$ a la base $B = \{(1,-1,0,1), (1,0,1,2), (0,1,1,a+4)\}$.

Ejercicio 4. Aplicación lineal, núcleo y diagonalización

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfismo cuyas imágenes sobre los vectores de la base canónica $C$ vienen dadas por:

$$f(1, 0, 0) = (0, 0, (a + 1)(a + b))$$$$f(0, 1, 0) = \left(0, 1, \frac{a + b - 1}{a + 1}\right)$$$$f(0, 0, 1) = (0, 0, a + b)$$

donde $a$ es una constante ($a \neq -1$) y $b \in \mathbb{R}$ es un parámetro real.

a. Determinad, en función de $b$, una base y la dimensión del núcleo $\ker(f)$, así como la dimensión del subespacio imagen $\operatorname{Im}(f)$.

Ejercicio 4. Aplicación lineal, núcleo y diagonalización

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfismo cuyas imágenes sobre los vectores de la base canónica $C$ vienen dadas por:

$$f(1, 0, 0) = (0, 0, (a + 1)(a + b))$$$$f(0, 1, 0) = \left(0, 1, \frac{a + b - 1}{a + 1}\right)$$$$f(0, 0, 1) = (0, 0, a + b)$$

donde $a$ es una constante ($a \neq -1$) y $b \in \mathbb{R}$ es un parámetro real.

b. Hallad el valor del parámetro $c \in \mathbb{R}$ para que el vector $v = (0, c, 1)$ sea un autovector de $f$, indicando cuál es su autovalor asociado. Construid asimismo una matriz diagonal para el endomorfismo $f$.

1.

2.

3.