Ejercicio 4.a - Núcleo e imagen · Álgebra UOC 2024

Tema: Aplicaciones lineales: matriz asociada, núcleo e imagen · Del examen Examen de Álgebra - Enero 2024 (2024)

Enunciado

Ejercicio 4. Aplicación lineal, núcleo y diagonalización

Sea f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 un endomorfismo cuyas imágenes sobre los vectores de la base canónica CC vienen dadas por:

f(1,0,0)=(0,0,(a+1)(a+b))f(1, 0, 0) = (0, 0, (a + 1)(a + b))f(0,1,0)=(0,1,a+b−1a+1)f(0, 1, 0) = \left(0, 1, \frac{a + b - 1}{a + 1}\right)f(0,0,1)=(0,0,a+b)f(0, 0, 1) = (0, 0, a + b)

donde aa es una constante (a≠−1a \neq -1) y b∈Rb \in \mathbb{R} es un parámetro real.

a. Determinad, en función de bb, una base y la dimensión del núcleo ker⁡(f)\ker(f), así como la dimensión del subespacio imagen Im⁡(f)\operatorname{Im}(f).

Enunciado: Ejercicio 4.a - Núcleo e imagen · Álgebra UOC 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determinad, en función de b, una base y la dimensión del núcleo ker(f), así como la dimensión del subespacio imagen Im(f).

Solución: Si b≠−ab \neq -a: dim⁡(ker⁡(f))=1\dim(\ker(f)) = 1, Base⁡(ker⁡(f))={(1,0,−(a+1))}\operatorname{Base}(\ker(f)) = \{(1, 0, -(a+1))\}, dim⁡(Im⁡(f))=2\dim(\operatorname{Im}(f)) = 2. Si b=−ab = -a: dim⁡(ker⁡(f))=2\dim(\ker(f)) = 2, Base⁡(ker⁡(f))={(1,0,0),(0,0,1)}\operatorname{Base}(\ker(f)) = \{(1,0,0), (0,0,1)\}, dim⁡(Im⁡(f))=1\dim(\operatorname{Im}(f)) = 1.

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