Ejercicio 3 - Coordenadas y cambio de base · Álgebra UOC 2024

Ejercicio 3. Espacios vectoriales, bases y cambios de base

Considerad los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$, dependientes del parámetro $a$:

$$e_1 = (1, -1, 0, 1), \quad e_2 = (0, 1, 1, 1), \quad e_3 = (0, 0, 0, a + 3), \quad e_4 = (2, 0, 2, 2a + 10)$$$$v = (3, -2, 1, 3a + 13)$$ Sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ el subespacio generado por dichos vectores.

Determinad justificadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

c.

El vector $v$ pertenece a $F$ y sus coordenadas en la base $A$ son $(3, 1, 3)$.

d.

La matriz dada por $$C_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ es la matriz de cambio de base desde la base $A$ a la base $B = \{(1,-1,0,1), (1,0,1,2), (0,1,1,a+4)\}$.