Ejercicio 3 - Dimensión y bases · Álgebra UOC 2024

Tema: Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión · Del examen Examen de Álgebra - Enero 2024 (2024)

Enunciado

Ejercicio 3. Espacios vectoriales, bases y cambios de base

Considerad los siguientes vectores de R4\mathbb{R}^4, dependientes del parámetro aa:

e1=(1,−1,0,1),e2=(0,1,1,1),e3=(0,0,0,a+3),e4=(2,0,2,2a+10)e_1 = (1, -1, 0, 1), \quad e_2 = (0, 1, 1, 1), \quad e_3 = (0, 0, 0, a + 3), \quad e_4 = (2, 0, 2, 2a + 10)v=(3,−2,1,3a+13)v = (3, -2, 1, 3a + 13) Sea F=⟨e1,e2,e3,e4⟩F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle el subespacio generado por dichos vectores.

Determinad justificadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a.

La dimensión del subespacio FF es igual a 4.

b.

El conjunto A={(1,−1,0,1),(0,1,1,1),(0,0,0,a+3)}A = \{(1,-1,0,1), (0,1,1,1), (0,0,0,a+3)\} constituye una base de FF (asumiendo a≠−3a \neq -3).

Enunciado: Ejercicio 3 - Dimensión y bases · Álgebra UOC 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. La dimensión del subespacio F es igual a 4. (Veracidad o falsedad)

Solución: Falso / Falsa

a. Justificación

Solución: Al escalonar por filas la matriz de los vectores generadores, la cuarta fila se anula con la tercera (F4−2F3=0F_4 - 2F_3 = 0), con lo que el rango máximo es 3 (si a≠−3a \neq -3) o 2 (si a=−3a = -3). Por tanto, la dimensión nunca puede ser 4.

b. El conjunto A = {(1,-1,0,1), (0,1,1,1), (0,0,0,a+3)} constituye una base de F (asumiendo a ≠ -3). (Veracidad o falsedad)

Solución: Verdadero / Verdadera

b. Justificación

Solución: Los tres vectores son linealmente independientes puesto que están en forma escalonada con pivotes no nulos (al ser a≠−3a \neq -3). Al ser 3 vectores linealmente independientes en un subespacio de dimensión 3, forman una base de FF.

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Pregunta 3.a - Subespacios vectoriales · 2023 ›

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