Pregunta 4 - Diagonalización · Álgebra UOC 2021

Tema: Valores y vectores propios. Diagonalización · Del examen Examen Álgebra - Enero 2021 (2021)

Enunciado

Pregunta 4 (25% del total). Aplicación lineal, sobreyectividad y diagonalización

Sea f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 el endomorfismo definido en la base canónica por:

f(x,y,z)=(3x+4y+(a−3)z,4x+3y−4z,az)f(x, y, z) = (3x + 4y + (a - 3)z, 4x + 3y - 4z, az)

c) Para un valor genérico fijado de aa, calculad el polinomio característico de ff, indicad sus valores propios y determinad una base de R3\mathbb{R}^3 formada por el número máximo posible de vectores propios linealmente independientes.

Enunciado: Pregunta 4 - Diagonalización · Álgebra UOC 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Calculad el polinomio característico de f

Solución: p(λ)=−(λ−a)(λ−7)(λ+1)p(\lambda) = -(\lambda - a)(\lambda - 7)(\lambda + 1) / (a−λ)(λ2−6λ−7)(a - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda - 7)

Indicad sus valores propios

Solución: λ1=7,λ2=−1,λ3=a\lambda_1 = 7, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = a

Determinad una base de R³ formada por el número máximo posible de vectores propios linealmente independientes

Solución: {(1, 1, 0), (-1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Desarrollo y justificación de los subespacios propios

Solución: Resolución de los sistemas (M_f - λI)v = 0 para λ = 7, -1 y a.

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