Pregunta 4 - Aplicaciones lineales · Álgebra UOC 2021

Tema: Aplicaciones lineales: matriz asociada, núcleo e imagen · Del examen Examen Álgebra - Enero 2021 (2021)

Enunciado

Pregunta 4 (25% del total). Aplicación lineal, sobreyectividad y diagonalización

Sea f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 el endomorfismo definido en la base canónica por:

f(x,y,z)=(3x+4y+(a−3)z,4x+3y−4z,az)f(x, y, z) = (3x + 4y + (a - 3)z, 4x + 3y - 4z, az)

a)

Hallad la matriz de ff asociada a la base canónica de R3\mathbb{R}^3, expresada como Mf=(m11m12m13m21m22m23m31m32m33)M_f = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix}:

b)

Para a=0a = 0, ¿es la aplicación ff exhaustiva (sobreyectiva)?

Sí

No

Enunciado: Pregunta 4 - Aplicaciones lineales · Álgebra UOC 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

m₁₁ de la matriz de f

Solución: 3

m₁₂ de la matriz de f

Solución: 4

m₁₃ de la matriz de f

Solución: a−3a - 3

m₂₁ de la matriz de f

Solución: 4

m₂₂ de la matriz de f

Solución: 3

m₂₃ de la matriz de f

Solución: -4

m₃₁ de la matriz de f

Solución: 0

m₃₂ de la matriz de f

Solución: 0

m₃₃ de la matriz de f

Solución: aa

¿Es la aplicación f exhaustiva cuando a = 0?

Solución: No

b) Justificación de si f es exhaustiva cuando a = 0

Solución: La tercera coordenada es siempre nula, por lo que rg(M_f) = 2 < 3 y no es exhaustiva.

b) Proporcionad una base de la imagen en dicho caso.

Solución: {(3, 4, 0), (4, 3, 0)}

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