Pregunta 3 · Álgebra UOC 2021

Pregunta 3 (25% del total). Subespacios, coordenadas y cambio de base

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ se consideran los vectores:

$$e_1 = (3, 0, -3), \quad e_2 = (-1, -2, 5), \quad e_3 = (0, -6, 12), \quad e_4 = (-2, 2, -2)$$

Sea el subespacio generado $E = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ y sea el vector $v = (3a + 12, -6, -3a)$, donde $a$ es una constante fijada.

a.

Determinad la dimensión de $E$ y una base $A$ del mismo. ¿Pertenece el vector $v$ a $E$? En caso afirmativo, hallad sus coordenadas en la base $A$.

b.

Se define el vector $w = (3a + 3, 0, -3a - 3)$. Se sabe que $B = \{v, w\}$ constituye una base de $E$. Calculad la matriz de cambio de base de $A$ a $B$ y la de $B$ a $A$.