Examen de Matemáticas II UB 2020 · Juny

Pregunta 1. Interval de confiança per a una proporció

En una enquesta realitzada a una mostra de 300 funcionaris, el 80% ha manifestat que assisteix al cinema cada setmana. Amb un nivell de confiança del 95%, entre quins límits se situa la proporció real de funcionaris que van setmanalment al cinema?

Pregunta 2. Interval de confiança per a la mitjana

La quantitat d'una impuresa determinada en un lot d'un producte químic segueix una distribució normal amb una desviació típica coneguda de 1.7 grams. S'analitzen vuit lots seleccionats a l'atzar, obtenint-se les següents mesures d'impuresa:

5.1, 3.4, 3.5, 3.9, 5.4, 5.7, 3.2, 6.6

Trobeu l'interval de confiança al 95% per a la mitjana de la quantitat d'impuresa present en un lot.

En una línia de fabricació, la probabilitat de produir una unitat que resulti defectuosa és de 0.05. Quina és la probabilitat que, en seleccionar deu peces produïdes, com a molt dues d'elles siguin defectuoses?

En una població, el nivell sanguini d'una determinada molècula segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 3\text{ M}$ i desviació típica $\sigma = 0.5\text{ M}$. Quina fracció de la població posseeix una concentració compresa entre $1.5\text{ M}$ i $2\text{ M}$?

Sigui $x(t)$ la solució del següent problema de valor inicial:$$\begin{cases} x' = t^2 - x, \\ x(0) = 2 \end{cases}$$Determineu el valor de $x(0.2)$ mitjançant el mètode d'Euler implícit emprant un pas $h = 0.1$:

Quin és el mètode iteratiu de punt fix més adequat per determinar l'arrel de la funció $f(x) = \sin x - 2x^2 + 3$ que es troba més a prop de $x = -1$?

Pregunta 7. Mètode de Newton-Raphson per a resolució d'equacions

Quan s'aplica el mètode de Newton a l'equació $f(x) = \frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 5\sin x = 0$ prenent com a estimació inicial $x_0 = 1.0$, el primer iterat $x_n$ que compleix $|f(x_n)| < 10^{-3}$ és:

Pregunta 8. Integració numèrica per trapezis i Simpson

A partir de les dades tabulades següents:

$x$ · 1.0 · 1.2 · 1.4 · 1.6 · 1.8 · 2.0 · 2.2

$f(x)$ · 1.0 · 1.5 · 1.6 · 1.4 · 1.0 · 0.5 · 0.0

Els valors aproximats de la integral $\int_1^{2.2} f(x)\,dx$ calculats amb la regla dels trapezis composta $T(f)$ i la regla de Simpson composta $S(f)$ són, respectivament:

Pregunta 9. Fita d'error en el mètode dels trapezis

Empreu la fita d'error del mètode dels trapezis compost per determinar el nombre mínim de subintervals $n$ necessaris per aproximar la integral$$\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx$$garantint un error estrictament inferior a $\frac{1}{2}10^{-2}$:

Pregunta 10. Derivació numèrica progressiva i extrapolació

A partir de la taula de valors per a una funció $f$:

$x$ · 0.10 · 0.15 · 0.20

$f(x)$ · 0.1002 · 0.1506 · 0.2014

Feu servir la fórmula en diferències progressives (cap endavant) i apliqueu posteriorment extrapolació de Richardson per aproximar $f'(0.1)$. El resultat és:

.