Examen de Matemáticas II UB 2020 · Juny

Pregunta 1. Aritmètica d'intervals

Considerem els valors aproximats amb el seu marge d'incertesa $x = 2 \pm 0.1$, $y = 1 \pm 0.1$ i $z = 1 \pm 0.1$. En quin interval es troba el resultat de l'operació $x - \frac{y}{z}$?

Pregunta 2. Propagació de l'error absolut

Suposeu que els coeficients del polinomi $p(x) = 2.3x + 5.7$ han estat obtinguts mitjançant arrodoniment. Feu servir la fórmula de propagació de l'error per determinar una cota de l'error absolut $e_a$ que es comet en avaluar $p(x_0)$ en el punt $x_0 = 1.5 \pm 0.05$.

Pregunta 3. Resolució per eliminació gaussiana amb pivotatge

Resoleu el sistema d'equacions lineals següent emprant el mètode d'eliminació gaussiana amb pivotatge maximal per columnes (pivotatge parcial), treballant amb 4 xifres significatives i arrodoniment:$$\begin{pmatrix} 0.003 & 59.14 \\ 5.291 & -6.13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59.17 \\ 46.78 \end{pmatrix}$$

Pregunta 4. Ajust per mínims quadrats no lineals

Es vol ajustar per mínims quadrats la taula de dades següent:

$x$ · 0.00 · 3.00 · 6.00

$y$ · 1.01 · 1.16 · 0.71

a una funció del tipus $y = A + B \sin x$ (on $x$ s'expressa en radiants). Quins valors s'obtenen per a $A$ i $B$?

Pregunta 5. Ajust polinòmic per mínims quadrats

D'entre tots els polinomis de la forma $p(x) = a + bx + cx^2$, aquell que proporciona l'aproximació mínim-quadràtica de la taula següent:

$x$ · -1 · 1 · 2 · 3

$y$ · 3 · -1 · 0 · 2

és:

Pregunta 6. Polinomi de Taylor d'ordre 5

El polinomi de Taylor d'ordre 5 de la funció $f(x) = \frac{\sin x}{1+x^2}$ centrat a $x_0 = 0$ és:

a

$x - \frac{7}{6}x^3 + \frac{7}{6}x^5$

b

$x + \frac{7}{6}x^3 + \frac{7}{6}x^5$

c

$x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{3}x^5$

d

$x - \frac{7}{6}x^3 + \frac{47}{40}x^5$

Pregunta 7. Integració mitjançant sèries de potències

Podem calcular la integral definida $\int_0^1 \frac{\sin(x^2)}{x}\,dx$ mitjançant la sèrie:

a

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+1)}$

b

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}$

c

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+2)}$

d

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n)}$

Pregunta 8. Cota de l'error d'interpolació d'exponencial

L'error que es comet en aproximar $e^x$ per a un punt $x \in [0, 1]$ fent servir interpolació polinòmica als nodes $0$, $0.25$, $0.50$, $0.75$, $1$ es pot acotar aproximadament per:

a

$0.12 \cdot 10^{-3}$

b

$0.14 \cdot 10^{-3}$

c

$0.13 \cdot 10^{-3}$

d

$0.11 \cdot 10^{-3}$

Pregunta 9. Interpolació polinòmica de la posició

Mesurem la posició $x(t)$ d'un objecte en moviment en diferents instants de temps i obtenim els valors següents:

$t$ · $0$ · $1$ · $2$ · $3$

$x(t)$ · $1.5$ · $3.5$ · $4.5$ · $2.5$

La posició estimada en el temps $t = 1.5$ és:

a

$x(1.5) = 3.75$.

b

$x(1.5) = 2.75$.

c

$x(1.5) = 4.00$.

d

$x(1.5) = 4.25$.

Pregunta 10. Cota de l'error d'interpolació numèrica

D'una funció $f$ es coneixen els valors següents:

$x_i$

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

$f(x_i)$

4.0

1.0

-0.5

-0.2

Sabent que $\max_{[-0.3, 0.0]} |f^{(4)}(x)| \le 10^4$, la cota de l'error comès en aproximar $f(-0.15)$ mitjançant $p_3(-0.15)$ (on $p_3$ és el polinomi interpolador de la taula) és: