Examen de Matemáticas II UB 2018 · final (2a part) - Gener 2018

Pregunta 1. Mètode dels trapezis compost i extrapolació de Richardson

Es considera la fórmula dels trapezis composta, el desenvolupament de l'error de la qual ve expressat per:

$$E_T(f, h) = a_2 h^2 + a_4 h^4 + a_6 h^6 + \dots$$

A partir d'una funció $f$ es disposa de la següent taula de valors numèrics:

$x$

$0$

$1/4$

$1/2$

$3/4$

$1$

$f(x)$

$1$

$1.0645$

$1.2840$

$1.7551$

$2.7183$

Emprant la regla dels trapezis per tal d'aproximar $\int_0^1 f(x)\,dx$ prenent com a passos $h = 1/2$ i $h = 1/4$, i aplicant posteriorment l'extrapolació de Richardson, quin resultat s'obté?

.

Pregunta 2. Interval de confiança per a una proporció

Una marca de productes dietètics sosté que un dels seus tractaments aconsegueix rebaixar els nivells de colesterol en un mes en el 90% dels casos. En realitzar un assaig sobre una mostra de 500 individus, el tractament va resultar efectiu en 425 d'ells. Prenent un nivell de confiança del 95%, és admissible la hipòtesi de l'empresa?

Pregunta 3. Resolució d'equació no lineal amb el mètode de Newton

Quina és l'arrel de l'equació $x^4 + x - 3 = 0$ obtinguda amb 6 xifres significatives en emprar el mètode de Newton-Raphson amb punt de partida $x_0 = 1$?

Pregunta 4. Grandària mostral amb distribució binomial

Se sap que qualsevol mostra d'aigua analitzada té una probabilitat del 20% de contenir una certa molècula. Quantes mostres individuals independents s'han d'agafar per garantir una probabilitat mínima del 90% de detectar dita molècula en almenys una d'elles?

Pregunta 5. Comparació de mitjanes en dues poblacions normals independents

Es pretén avaluar com afecten dos catalitzadors diferents ($A$ i $B$) al rendiment mitjà d'un determinat procés de síntesi química. Es duu a terme un estudi experimental, i els valors obtinguts per al rendiment (en %) es presenten a la següent taula:

Catalitzador A

Catalitzador B

$n_A = 8$

$n_B = 8$

$\overline{x}_A = 92.26$

$\overline{x}_B = 92.76$

$s_A^2 = 5.69$

$s_B^2 = 8.90$

Suposant que les mostres procedeixen de distribucions normals independents $X_A \sim N(\mu_A, \sigma_A)$ i $X_B \sim N(\mu_B, \sigma_B)$ amb variàncies homogènies ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2$), es pot concloure amb un nivell de confiança del 95% que hi ha una diferència significativa en el rendiment mitjà associada al catalitzador emprat?

Pregunta 6. Convergència del mètode del punt fix (iteració simple)

Es desitja aproximar l'arrel de l'equació no lineal $x^3 + 4x^2 - 10 = 0$ situada al voltant de $1.36$ mitjançant la tècnica d'iteració simple de punt fix. Si es pren com a funció d'iteració:

$$g(x) = \sqrt{\frac{10}{4 + x}}$$

què es pot concloure sobre el comportament del mètode iteratiu?

Pregunta 7. Resolució numèrica d'una EDO amb el mètode d'Euler

Sigui $x(t)$ la solució del següent problema de valor inicial:

$$\begin{cases} x' = t^2 - x, \\ x(0) = 2 \end{cases}$$

Quant val l'aproximació de $x(0.2)$ obtinguda mitjançant el mètode d'Euler fent servir una mida de pas $h = 0.1$?

Pregunta 8. Càlcul de probabilitat amb distribució normal

Si les qualificacions obtingudes en una prova segueixen una distribució normal amb mitjana $5.6$ i desviació típica $0.8$, quin percentatge d'estudiants superarà la matèria (nota igual o superior a $5$)?

Pregunta 9. Error del mètode de Simpson compost i nombre de subintervals

Es vol aproximar la integral definida $\int_{0}^{2} \frac{3}{4-x}\,dx$ mitjançant la fórmula de Simpson composta. Quin és el nombre mínim de subintervals que garanteix obtenir un error estrictament menor que $10^{-8}$?