Examen de Matemáticas II UB 2018 · final (1a part) - Gener 2018

Pregunta 1. Derivació numèrica centrada

Calculeu el valor aproximat de la derivada primera de la funció $f(x) = \tan(x)$ en el punt $a = 1$ emprant la fórmula en diferències centrades amb un pas $h = 0.1$:

Pregunta 2. Propagació d'errors en la densitat

Es considera un prisma recte de base rectangular amb una àrea de la base $A = 25.12 \pm 0.05\text{ cm}^2$, una alçada $h = 4.5 \pm 0.05\text{ cm}$ i una massa $m = 72.5 \pm 0.5\text{ g}$. Mitjançant la fórmula de propagació de l'error, determineu una cota superior de l'error absolut de la seva densitat $\rho$ (indicació: $\rho = \frac{m}{Ah}$):

Pregunta 3. Interpolació polinòmica de rendiment

En una planta química es duu a terme la síntesi d'un producte determinat. El rendiment $R$ del procés depèn de la temperatura $T$ d'acord amb la taula següent:

$T\ (^{\circ}\mathrm{C})$

160

170

180

$R\ (\%)$

35.5

37.8

43.6

Si es calcula el polinomi interpolador emprant totes les dades disponibles, determineu el valor aproximat del rendiment si la planta treballa a una temperatura de $T = 175^{\circ}\mathrm{C}$:

Pregunta 4. Cota de l'error de truncament en interpolació

Si aproximem la funció $f(x) = e^{-2x}$ a l'interval $[0, 1]$ mitjançant el polinomi interpolador usant 6 nodes equiespaiats amb $x_0 = 0$ i $x_5 = 1$, quina és la millor cota de l'error de truncament per a qualsevol $x \in [0, 1]$?

Pregunta 5. Mètode de Gauss amb pivotatge maximal per columnes

Resoleu el sistema d'equacions lineals $Ax = b$ mitjançant el mètode d'eliminació gaussiana amb pivotatge maximal per columnes i utilitzant aritmètica de punt flotant amb 3 xifres significatives i arrodoniment, on:

$$A = \begin{pmatrix} 0.102 & -1.01 \\ -9.12 & 0.171 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} -0.121 \\ 0.252 \end{pmatrix}$$

Pregunta 6. Polinomi de Taylor que aproxima f(x)

D'una funció $f(x)$ es coneixen els següents valors en el punt $a = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = -3$ i $f''(1) = 2$. En un entorn d'aquest punt, quin és el polinomi de grau menor que millor aproxima la funció $f(x)$?

()

Pregunta 7. Aritmètica d'intervals

Si $1.5 \le x \le 2$, treballant amb aritmètica d'intervals podem assegurar que el valor de l'expressió $1 + \sin x$ es troba dins de l'interval:

Pregunta 8. Desenvolupament en sèrie d'una integral

La integral definida $\int_0^1 \ln(1 + x^3)\,dx$ és igual a la sèrie:

Pregunta 9. Ajust per mínims quadrats no lineal

Ajustant per mínims quadrats els paràmetres $C$ i $a$ del model exponencial $y = Ce^{at}$ a les dades de la taula:

$t$ · 2 · 3 · 7

$y$ · 60.70 · 86.40 · 312.0

s'obté: