Exercici 2 · Matemáticas I UB 2023

Tema: Diagonalització de matrius reals · Del examen Examen Parcial - Matemàtiques I (31 d'octubre de 2023) (2023)

Enunciado

Exercici 2 (4 punts). Diagonalització d'un endomorfisme a R^3

Es considera la matriu real 3×33 \times 3:

A=(2−300−103−31)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}

a)

Determineu el polinomi característic de la matriu AA i calculeu els seus valors propis. [2 punts]

b)

Comproveu si AA és diagonalitzable i, en cas afirmatiu, trobeu una matriu invertible CC i una matriu diagonal DD tals que C−1AC=DC^{-1}AC = D. [2 punts]

Sí

No

Enunciado: Exercici 2 · Matemáticas I UB 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Polinomi característic de la matriu AA

Solución: pA(λ)=(1−λ)(−1−λ)(2−λ)p_A(\lambda) = (1 - \lambda)(-1 - \lambda)(2 - \lambda) / −λ3+2λ2+λ−2-\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2

a. Valors propis de la matriu AA

Solución: λ1=1,λ2=−1,λ3=2\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 2

b. És diagonalitzable la matriu AA?

Solución: Sí

b. Trobeu una matriu invertible CC i una matriu diagonal DD tals que C−1AC=DC^{-1}AC = D

Solución: C=(011010103),D=(1000−10002)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Ejercicio 1 - Diagonalització de matrius reals · 2021 ›

Más ejercicios de Diagonalització de matrius reals