Examen de Matemáticas I UB 2023 · Parcial - Matemàtiques I (31 d'octubre de 2023)

Exercici 1 (3 punts). Integrals indefinides i arrels en forma polar

Responeu als següents apartats:

a. Trobeu les primitives següents:

1.

$$\int \frac{2 \sin x}{\sqrt{\cos x}}\,dx$$

2.

$$\int \ln(1 + x^2)\,dx$$

Exercici 1 (3 punts). Integrals indefinides i arrels en forma polar

Responeu als següents apartats:

b. Calculeu les arrels quartes del nombre complex $z = -8\sqrt{2} - 8i\sqrt{2}$. (1 punt)

Exercici 2 (4 punts). Diagonalització d'un endomorfisme a R^3

Es considera la matriu real $3 \times 3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Determineu el polinomi característic de la matriu $A$ i calculeu els seus valors propis. [2 punts]

b)

Comproveu si $A$ és diagonalitzable i, en cas afirmatiu, trobeu una matriu invertible $C$ i una matriu diagonal $D$ tals que $C^{-1}AC = D$. [2 punts]

Sí

No

Exercici 3 (3 punts). Dependència lineal, producte hermític i base ortonormal a $\mathbb{C}^3$

Es consideren els vectors següents de l'espai vectorial complex $\mathbb{C}^3$:

$$v_1 = (2i, 2, 2), \quad v_2 = (-i, 2, 5), \quad v_3 = (5, -2i, i)$$

a)

Són linealment dependents o independents? Raoneu la resposta. [1 punt]

b)

Calculeu els productes escalars hermítics $v_1 \cdot v_2$ i $v_2 \cdot v_3$. [1 punt]

c)

Construïu una base ortonormal del subespai vectorial generat per $v_1$ i $v_2$. [1 punt]