Examen de Matrices y Vectores UB 2020 · reevaluación de problemas (enero 2020)

Problema 1. Ecuaciones, dimensión y base de (F + G) ∩ H

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ se definen los siguientes subespacios:

$F$, generado por el conjunto de vectores:

$$v_1 = (1, 1, 2, 1), \quad v_2 = (1, 0, 1, 0), \quad v_3 = (-1, 1, 0, 1)$$

$G$, caracterizado por las ecuaciones implícitas:

$$x - 2y - z + 2t = 0, \quad 2x - y - 2z + t = 0$$

$H$, cuyas ecuaciones vienen dadas por:

$$x + y + z - t = 0, \quad x + 2y + z + 2t = 0$$

Determine justificadamente las ecuaciones cartesianas independientes, la dimensión y una base del subespacio $(F + G) \cap H$.

a)

b)

c)

Problema 2 (etiquetado como 3 en original). Base y suma directa de subespacios

Sean $E$ un espacio vectorial y $F$ un subespacio de $E$. Se dispone de una base $e_1, \dots, e_d$ de $F$ y de vectores $e_{d+1}, \dots, e_n \in E$ tales que el conjunto $\{e_1, \dots, e_d, e_{d+1}, \dots, e_n\}$ constituye una base de $E$.

Demuestre que:

a)

Los vectores $e_{d+1}, \dots, e_n$ forman una base de $G = \langle e_{d+1}, \dots, e_n \rangle$.

b)

$E = F \oplus G$.

Para cada entero $n > 1$ y $x \in \mathbb{R}$, se define la matriz cuadrada de orden $n$:$$A_n(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ x & x+1 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ 0 & x & x+1 & 2 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & x & x+1 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & x+1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & x & x+1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x & x+1 \end{pmatrix}$$

a.

Calcule $\det A_n(x)$ y concrete para qué valores del parámetro $x$ la matriz resulta regular.

Para cada entero $n > 1$ y $x \in \mathbb{R}$, se define la matriz cuadrada de orden $n$:$$A_n(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ x & x+1 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ 0 & x & x+1 & 2 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & x & x+1 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & x+1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & x & x+1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x & x+1 \end{pmatrix}$$

b.

Justifique si la matriz $A_3(1)$ admite descomposición como producto de matrices elementales y, en caso favorable, determine dicha factorización de manera explícita.

Consideremos dos aplicaciones lineales $f, g: E \to F$ entre espacios vectoriales de dimensión finita. Fijadas sendas bases en $E$ y $F$, sean $M$ y $N$ las matrices asociadas a $f$ y $g$ respecto a las citadas bases.

a.

Demuestre que el conjunto $H = \{u \in E \mid f(u) = g(u)\}$ es un subespacio vectorial de $E$.

b.

Pruebe que si $\dim E > \dim F$, entonces necesariamente $H \neq \{0\}$.

c.

Calcule la dimensión de $H$ en términos de la matriz $M - N$.

Se define la aplicación lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ mediante:$$f(x, y, z, t) = (x - y + t,\, 2x - z + 3t,\, y - z + t)$$para todo $(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4$.

a.

Escriba la matriz de $f$ respecto a las bases canónicas de $\mathbb{R}^4$ y $\mathbb{R}^3$.

b.

Determine el núcleo y la imagen de $f$, indicando sus dimensiones y una base de cada uno.

c.

Halle la totalidad de vectores $v \in \mathbb{R}^4$ tales que $f(v) = (1, 0, 0)$.