Problema 2 · Matrices y Vectores UB 2020

a. Los vectores $e_{d+1}, \dots, e_n$ forman una base de $G = \langle e_{d+1}, \dots, e_n \rangle$.

Solución: Por definición, el conjunto $\{e_{d+1}, \dots, e_n\}$ genera el subespacio $G$. Además, al ser un subconjunto de una base de $E$, es linealmente independiente. Por ser un sistema generador libre, constituye una base de $G$.

b. $E = F \oplus G$.

Solución: Para demostrar que $E = F \oplus G$ se deben verificar dos condiciones: * $E = F + G$: Todo vector $v \in E$ se expresa de forma única como combinación lineal de la base de $E$: $$v = \sum_{i=1}^d \alpha_i e_i + \sum_{j=d+1}^n \alpha_j e_j$$ El primer término pertenece a $F$ (por ser combinación de su base) y el segundo pertenece a $G$ (por ser combinación de los generadores de $G$). Por tanto, $v \in F + G$, lo que prueba que $E = F + G$. * $F \cap G = \{0\}$: Sea $w \in F \cap G$. Al estar en $F$, existen escalares tales que $w = \sum_{i=1}^d \lambda_i e_i$. Al pertenecer a $G$, existen escalares tales que $w = \sum_{j=d+1}^n \mu_j e_j$. Igualando ambas expresiones: $$\sum_{i=1}^d \lambda_i e_i - \sum_{j=d+1}^n \mu_j e_j = 0$$ Como los vectores $\{e_1, \dots, e_n\}$ son linealmente independientes, todos los coeficientes han de ser cero: $\lambda_1 = \dots = \lambda_d = \mu_{d+1} = \dots = \mu_n = 0$. En consecuencia, $w = 0$. Habiéndose probado ambas propiedades, se concluye que $E = F \oplus G$.