Problema de reserva · Matrices y Vectores UB 2020

Tema: Aplicacions lineals: matriu, nucli i imatge · Del examen Examen de reevaluación de problemas (enero 2020) (2020)

Enunciado

Se define la aplicación lineal f:R4→R3f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 mediante:f(x,y,z,t)=(x−y+t, 2x−z+3t, y−z+t)f(x, y, z, t) = (x - y + t,\, 2x - z + 3t,\, y - z + t)para todo (x,y,z,t)∈R4(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4.

a.

Escriba la matriz de ff respecto a las bases canónicas de R4\mathbb{R}^4 y R3\mathbb{R}^3.

b.

Determine el núcleo y la imagen de ff, indicando sus dimensiones y una base de cada uno.

c.

Halle la totalidad de vectores v∈R4v \in \mathbb{R}^4 tales que f(v)=(1,0,0)f(v) = (1, 0, 0).

Enunciado: Problema de reserva · Matrices y Vectores UB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Escriba la matriz de f respecto a las bases canónicas de ℝ⁴ y ℝ³.

Solución: (1−10120−1301−11)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

b. Dimensión del núcleo de f

Solución: 1

b. Base del núcleo de f

Solución: {(-1, 0, 1, 1)}

b. Dimensión de la imagen de f

Solución: 3

b. Base de la imagen de f

Solución: Base canónica de R3\mathbb{R}^3: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

c. Halle la totalidad de vectores v ∈ ℝ⁴ tales que f(v) = (1, 0, 0).

Solución: v=(−1−t,−2,−2+t,t)=(−1,−2,−2,0)+t(−1,0,1,1),t∈Rv = (-1 - t, -2, -2 + t, t) = (-1, -2, -2, 0) + t(-1, 0, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}

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