Problema 4 · Matrices y Vectores UB 2020

Tema: Aplicacions lineals: matriu, nucli i imatge · Del examen Examen de reevaluación de problemas (enero 2020) (2020)

Enunciado

Consideremos dos aplicaciones lineales f,g:E→Ff, g: E \to F entre espacios vectoriales de dimensión finita. Fijadas sendas bases en EE y FF, sean MM y NN las matrices asociadas a ff y gg respecto a las citadas bases.

a.

Demuestre que el conjunto H={u∈E∣f(u)=g(u)}H = \{u \in E \mid f(u) = g(u)\} es un subespacio vectorial de EE.

b.

Pruebe que si dim⁡E>dim⁡F\dim E > \dim F, entonces necesariamente H≠{0}H \neq \{0\}.

c.

Calcule la dimensión de HH en términos de la matriz M−NM - N.

Enunciado: Problema 4 · Matrices y Vectores UB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demuestre que el conjunto H = {u ∈ E | f(u) = g(u)} es un subespacio vectorial de E.

Solución: H es el núcleo de la aplicación lineal h = f - g, luego es subespacio vectorial de E.

b. Pruebe que si dim E > dim F, entonces necesariamente H ≠ {0}.

Solución: dim H = dim E - dim Im(h) ≥ dim E - dim F > 0, por lo que H no es el subespacio trivial.

c. Calcule la dimensión de H en términos de la matriz M - N.

Solución: dim⁡E−rg⁡(M−N)\dim E - \operatorname{rg}(M - N)

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