Problema 2 · Álgebra UB Juny 2013

PROBLEMA 2 (5 punts). Producte escalar en P2(t) i millor aproximació

Sigui l'espai vectorial $P_2(t)$ format pels polinomis reals de grau menor o igual que 2, de l'expressió $p(t) = a + bt + ct^2$. Considerem el conjunt $S = \{2, t\}$.

Definim el producte escalar entre dos polinomis qualsevol $f(t)$ i $g(t)$ com:

$$\langle f(t), g(t) \rangle = \int_0^1 f(t) \cdot g(t) \, dt$$

a.

(1.25 punts) Trobeu una base del subespai ortogonal $\langle S \rangle^\perp$.

Sigui el polinomi $h(t) = t^2$. Calculeu la millor aproximació (projecció ortogonal) de $h(t)$ sobre l'espai generat $\langle S \rangle$ mitjançant dues metodologies diferents:

a.

(1.25 punts) Emprant prèviament una base ortogonal de $\langle S \rangle$ per determinar $\hat{h}(t)$.

b.

(1.25 punts) Utilitzant directament la base $\{2, t\}$ mitjançant les equacions normals (matriu de Gram) per calcular $\hat{h}(t)$.

c.

(1.25 punts) Considerant els polinomis $f(t) = t^2 - 2$ i $g(t) = t^2 + t$, indiqueu justificadament quin dels dos té un comportament més semblant a $h(t) = t^2$ en funció de la mètrica definida pel producte escalar.

$f(t)$

$g(t)$