Ejercicio 1 - Valors i vectors propis. Diagonalització · Álgebra UB Juny 2013

Es considera la següent matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 0.4 & 0 & 0 \\ 0.6 & 1 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0.8 \end{pmatrix}$$

Es coneix la matriu $P$ formada pels seus vectors propis (VEPs):

$$P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Nota: Utilitzeu el producte escalar euclidià usual i la norma associada.

a)

[1.5 punts] Sense fer servir el polinomi característic, deduïu la matriu diagonal $D$ que verifica la relació $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$. Indiqueu els valors propis ordenats segons les columnes de $P$ (és a dir, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ tals que $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$):

b)

[1.5 punts] Assumiu que $A$ és la matriu de transició que descriu anualment les quotes de mercat entre tres companyies de telefonia mòbil («Operador 1», «Operador 2» i «Operador 3»), on l'element en la posició $(i, j)$ correspon a la proporció d'usuaris que passen de l'operador $j$ cap a l'operador $i$ en acabar l'any. Determineu quin operador acabarà dominant el mercat a llarg termini. Argumenteu la deducció mitjançant la teoria de valors i vectors propis.