Ejercicio 2 - Subespais vectorials · Álgebra UB 2013

Exercici 2 (5 punts). Subespais vectorials de matrius, generadors i coordenades

Sigui el subconjunt de l'espai de matrius $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definit per:

a.

Determina de manera raonada si $F$ és un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$. [1 punt]

No

Sí

b.

Considera ara el subespai vectorial $U$ donat per:$$U = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = a,\; c = 0 \;\text{ i }\; d = a - 2b \right\}$$Troba una base i indica la dimensió de $U$. [1 punt]

c.

Sigui el subespai vectorial generat$$W = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; \begin{pmatrix} K & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \right\rangle$$Sabent que la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ pertany a $W$, calcula el valor del paràmetre $K$. [1 punt]