Problema 1 · Matemàtiques UB 2023

Problema 1 (2 punts). Màxim i límit de la densitat d'una alga

En biologia marina, la densitat d'una alga invasora ( Rugulopteryx okamurae) mesurada en un transsecte costaner durant el seu període d'expansió es modelitza mitjançant la funció:$$f(x) = x e^{-2x^2}$$on $x$ representa el temps transcorregut en mesos ($x \ge 0$).

Determineu:

a)

L'instant de temps en el qual s'assoleix la màxima densitat de l'alga, així com el valor d'aquesta densitat màxima.

b)

L'evolució poblacional d'aquesta alga a llarg termini: calculeu el límit quan $x \to +\infty$ i interpreteu biològicament el resultat.