Examen de Matemàtiques UB 2015 · (Gener 2015)

Sigui $f(x)$ una funció que és contínua en $x = 0$, complint que $f(0) = 2$. Es defineix la funció $g(x) = x f(x)$.

1. Derivada per la definició [2 punts]

Sigui $f(x)$ una funció que és contínua en $x = 0$, complint que $f(0) = 2$. Es defineix la funció $g(x) = x f(x)$.

Empreu la definició formal de derivada per calcular el valor de $g'(0)$.

Sigui $f(x)$ una funció que és contínua en $x = 0$, complint que $f(0) = 2$. Es defineix la funció $g(x) = x f(x)$.

2. Estudi de la convergència d'una sèrie [2 punts]

Determineu raonadament si la següent sèrie numèrica és convergent o divergent:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4}{e^{2n}}$$

A

Convergent

B

Divergent

Sigui $f(x)$ una funció que és contínua en $x = 0$, complint que $f(0) = 2$. Es defineix la funció $g(x) = x f(x)$.

3. Punts crítics i extrems d'una funció de dues variables [2 punts]

Trobeu els punts crítics de la funció següent i determineu la seva naturalesa (classificant-los en extrems relatius o punts de sella):

$$f(x, y) = x^2 + y^2 + 4xy - 14x - 16y + 5$$

Sigui $f(x)$ una funció que és contínua en $x = 0$, complint que $f(0) = 2$. Es defineix la funció $g(x) = x f(x)$.

4. Càlcul d'àrea mitjançant integral definida [4 punts]

Calculeu l'àrea de la regió del pla compresa entre la gràfica de la funció $f(x) = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-2x}}$, l'eix d'abscisses i les rectes verticals $x = 1$ i $x = 2$.

En el marc d'un experiment es modelitza un paràmetre segons la següent funció:

$$f(x) = \left| \frac{e^x}{x} \right|$$

Part 2 - Pregunta 1 (4 punts). Modelització amb equacions diferencials

Un fàrmac s'administra de manera continuada a un pacient a una velocitat constant de $12\text{ mg}$ per minut. Paral·lelament, el medicament es va eliminant i descomponent a l'organisme a un ritme proporcional a la quantitat total de fàrmac existent en cada instant.

a)

Plantegeu i resoleu l'equació diferencial que descriu l'evolució temporal de la quantitat de medicament a l'organisme (suposant condició inicial $y(0) = 0$).

b)

Determineu la constant de proporcionalitat si es desitja que, a llarg termini, la quantitat de fàrmac a l'organisme s'estabilitzi en $3\text{ mg}$. Calculeu també la quantitat de medicament present quan ha transcorregut un minut ($t = 1$).

En el marc d'un experiment es modelitza un paràmetre segons la següent funció:

$$f(x) = \left| \frac{e^x}{x} \right|$$

Part 2 - Pregunta 2 (4 punts). Estudi complet d'una funció amb valor absolut

En el marc d'un experiment es modelitza un paràmetre segons la següent funció:

$$f(x) = \left| \frac{e^x}{x} \right|$$

a.

Trobeu els extrems relatius i determineu els intervals de creixement i decreixement.

b.

Calculeu les asímptotes horitzontals i verticals. Estudieu la continuïtat de la funció en $x = 0$.

c.

Feu un esbós gràfic representant el comportament de la funció.

En el marc d'un experiment es modelitza un paràmetre segons la següent funció:

$$f(x) = \left| \frac{e^x}{x} \right|$$

Part 2 - Pregunta 3 (2 punts). Cadenes de Markov i valors propis

Una determinada població d'ocells migra anualment entre tres assentaments diferents anomenats A, B i C. El model de desplaçament es descriu mitjançant una cadena de Markov amb matriu de transició (estocàstica per columnes):

$$M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$$

a)

Es pot assegurar que el vector $v = (1, 1, 1)^T$ és vector propi de la matriu $M$? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

b)

Demostreu que $\lambda = 1$ és valor propi de $M$ i trobeu el vector propi associat. Quina distribució o proporció inicial d'ocells ha d'haver-hi en cadascun dels tres assentaments perquè les poblacions romanguin constants any rere any?