Part 2 - Pregunta 3 · Matemàtiques UB 2015

En el marc d'un experiment es modelitza un paràmetre segons la següent funció:

$$f(x) = \left| \frac{e^x}{x} \right|$$

Part 2 - Pregunta 3 (2 punts). Cadenes de Markov i valors propis

Una determinada població d'ocells migra anualment entre tres assentaments diferents anomenats A, B i C. El model de desplaçament es descriu mitjançant una cadena de Markov amb matriu de transició (estocàstica per columnes):

$$M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}7 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$$

a)

Es pot assegurar que el vector $v = (1, 1, 1)^T$ és vector propi de la matriu $M$? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

b)

Demostreu que $\lambda = 1$ és valor propi de $M$ i trobeu el vector propi associat. Quina distribució o proporció inicial d'ocells ha d'haver-hi en cadascun dels tres assentaments perquè les poblacions romanguin constants any rere any?