Examen de Matemáticas Aplicadas URL 2017 · Parcial Tercer Parcial Maig 2017

Es considera l'equació diferencial:

$$(x + y)^2 y' - (1 + axy - y^2) = 0$$

Calculeu el valor del paràmetre real $a$ pel qual l'equació esdevé exacta i trobeu la solució general per a aquest valor concret.

a)

b)

Considereu l'equació diferencial ordinària:

$$y'' + (y')^2 = 1$$

Justifiqueu que és possible reduir-la a una equació de primer ordre i determineu la solució particular que compleix les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 1$.

a)

b)

$y(x) =$

Trobeu la solució general de l'equació diferencial:

$$y'' - 2y' + 2y = xe^x$$

Determineu si existeix alguna solució que verifiqui les condicions de contorn $y(0) = y(\pi) = 1$.

a)

$y(x) =$

b)

Sí

No

Activitat 4 (3 punts). Equació de la calor en una barra aïllada

Una barra homogènia de longitud $L$ i difusivitat tèrmica $\kappa$ es troba aïllada de l'exterior pels seus extrems, de manera que les condicions de contorn són:

$$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0$$

a)

Trobeu totes les solucions separables de l'equació de conducció de la calor que verifiquen aquestes condicions de contorn.

b)

La distribució inicial de temperatura a la barra ve donada per:

$$u(x,0) = T_0 \frac{x}{L}, \quad 0 \le x \le L$$

on $T_0$ és una constant positiva. Determineu l'evolució temporal de la temperatura $u(x,t)$, indiqueu quin serà el valor de la temperatura quan hagi transcorregut molt de temps ($t \to \infty$) i descriviu gràficament les distribucions inicial i final.