Examen de Matemáticas Aplicadas URL 2017 · Parcial. Eines Matemàtiques (Novembre 2017)

Es considera l'equació diferencial:$$[\alpha(x^2 + 1)y^2 + \sin(x)]y' + [2x(1 + y^3) + y\cos(x)] = 0$$Determineu el valor del paràmetre $\alpha$ que fa que l'equació sigui exacta i, per a aquest valor, trobeu-ne la solució general.

Considereu l'equació diferencial $y'' + (y')^2 = 1$. Demostreu que es pot reduir a una equació de primer ordre i trobeu les solucions que verifiquen cadascuna de les condicions inicials següents:

a)

$y(0) = y'(0) = 1$

b)

$y(0) = 1$, $\quad y'(0) = 0$

c)

$y(0) = 1$, $\quad y'(0) = 2$

Trobeu la solució general de l'equació diferencial:$$y'' - y = x e^x$$

Exercici 4. Resolució d'un PVI mitjançant transformades de Laplace

Trobeu la solució de l'equació diferencial

$$y'' + \pi^2 y = \begin{cases} \pi^2, & 0 \le t < 1 \\ 0, & 1 \le t \end{cases}$$

amb les condicions inicials $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Podeu utilitzar la següent taula de transformades de Laplace: