Ejercicio Activitat 4 · Matemáticas Aplicadas URL 2017

Tema: Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales · Del examen Examen Parcial Tercer Parcial Maig 2017 (2017)

Enunciado

Activitat 4 (3 punts). Equació de la calor en una barra aïllada

Una barra homogènia de longitud LL i difusivitat tèrmica κ\kappa es troba aïllada de l'exterior pels seus extrems, de manera que les condicions de contorn són:

∂u∂x(0,t)=0,∂u∂x(L,t)=0\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0

a)

Trobeu totes les solucions separables de l'equació de conducció de la calor que verifiquen aquestes condicions de contorn.

b)

La distribució inicial de temperatura a la barra ve donada per:

u(x,0)=T0xL,0≤x≤Lu(x,0) = T_0 \frac{x}{L}, \quad 0 \le x \le L

on T0T_0 és una constant positiva. Determineu l'evolució temporal de la temperatura u(x,t)u(x,t), indiqueu quin serà el valor de la temperatura quan hagi transcorregut molt de temps (t→∞t \to \infty) i descriviu gràficament les distribucions inicial i final.

Enunciado: Ejercicio Activitat 4 · Matemáticas Aplicadas URL 2017

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu totes les solucions separables de l'equació de conducció de la calor que verifiquen aquestes condicions de contorn.

Solución: u0(x,t)=C0u_0(x,t) = C_0, un(x,t)=Cncos⁡(nπxL)e−κ(nπL)2tu_n(x,t) = C_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\kappa \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}, n=1,2,…n=1,2,\dots

b. La distribució inicial de temperatura a la barra ve donada per u(x,0)=T0xLu(x,0) = T_0\frac{x}{L}. Determineu l'evolució temporal de la temperatura u(x,t)u(x,t) i descriviu gràficament les distribucions inicial i final.

Solución: u(x,t)=T02−4T0π2∑k=0∞1(2k+1)2cos⁡((2k+1)πxL)e−κ((2k+1)πL)2tu(x,t) = \frac{T_0}{2} - \frac{4T_0}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} \cos\left(\frac{(2k+1)\pi x}{L}\right) e^{-\kappa \left(\frac{(2k+1)\pi}{L}\right)^2 t}

Indiqueu quin serà el valor de la temperatura quan hagi transcorregut molt de temps (t→∞t \to \infty).

Solución: T0/2T_0/2 / T02\frac{T_0}{2}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 4 · 2018

Más ejercicios de Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales