Examen de Álgebra Lineal UPC 2017 · Juny

Problema 1 (3 punts). Discussió i resolució d'un sistema paramètric

Es considera el sistema lineal presentat en format matricial:

$$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 4 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ b \end{pmatrix}$$

a.

Analitza el comportament del sistema segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$. Mostra un quadre resum detallant el tipus de sistema resultant en cada situació. [1,5 p]

b.

Determina la solució del sistema mitjançant la regla de Cramer en el cas particular $a = 1$ i $b = 1$. [1 p]

c.

Resol el sistema a través de la matriu inversa suposant $a = -2$ i $b = 0$. [0,5 p]

Problema 2 [3 punts]. Estudi de subespais a l'espai de matrius M 2×2

Sigui l'espai vectorial de les matrius quadrades d'ordre dos, $M_{2\times 2}$, i considerem el subconjunt:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; a = b^2,\; c = -2d \right\}$$

a)

Justifica si $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$. [1 p]

b)

Considerant un subespai $G \subset M_{2\times 2}$ de dimensió 2, del qual es proposa la família:

$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$

Raona si el conjunt $B$ pot ser una base de $G$. [1 p]

c)

Dedueix la forma general que presenta qualsevol matriu $A$ que pertanyi al subespai $G$ generat per $B$. [1 p]

Problema 3 (4 punts). Transformacions lineals, matriu associada i composició

Es considera l'aplicació $f: \mathbb{R}^3 \to M_{2\times 2}$ definida per:

$$f(x, y, z) = \begin{pmatrix} x & x+y \\ x+y+z & x^k \end{pmatrix}$$

on $k$ és una constant real.

a.

Demostra que en el supòsit $k = 0$, $f$ no és una aplicació lineal. (1 p)

b.

Suposant a partir d'aquest punt que $k = 1$, troba una base i calcula la dimensió tant del nucli ($\operatorname{Ker} f$) com de la imatge ($\operatorname{Im} f$). (1 p)

c.

Sigui $g: M_{2\times 2} \to P_2(x)$ l'aplicació lineal descrita per la matriu associada respecte de les bases canòniques:

$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

on les bases canòniques de referència són:

$$B_{c, M_{2\times 2}} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}, \quad B_{c, P_2(x)} = \{1, x, x^2\}$$

Amb la informació donada, troba la imatge $g\left(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\right)$ expressant el polinomi de manera explícita (no en components respecte de cap base). (1 p)

d.

Determina la matriu associada a la composició $g \circ f$ referida a les bases canòniques de sortida i arribada. (1 p)