Examen de Álgebra Lineal UPC 2017 · Juny

Sigui $V$ l'espai vectorial dels polinomis de grau menor o igual a 2 (amb elements de la forma $p(t) = a + bt + ct^2$), proveït del producte escalar:

$$\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\,dt$$

Considerem el subespai $S$ generat pels vectors $\{1, 2t, t - 2\}$.

a.

Trobeu una base ortonormal de $S$. [1,75 punts]

Indiqueu els dos polinomis que formen la base ortonormal $B'' = \{u_1(t), u_2(t)\}$ obtinguda a partir de la base ordenada $\{1, 2t\}$:

b.

Determineu una base ortogonal de l'espai complementari ortogonal $S^\perp$. [1,75 punts]

Indiqueu un polinomi no nul $q(t)$ que formi una base de $S^\perp$:

Es considera el conjunt de cinc punts del pla següent:$$\{(0,1), (1,2), (2,1), (3,2), (4,1)\}$$

a)

Determineu l'equació de la recta $y(x) = ax + b$ que millor s'ajusta al conjunt de dades segons el criteri dels mínims quadrats.

b)

Expliqueu breument de quina manera es modificaria la recta obtinguda a l'apartat a) en el supòsit que s'incorporés el nou punt $(5, 7/5)$ a la col·lecció de dades.

Problema 3 [3,5 punts]. Demodulació digital QPSK i projeccions ortogonals

En el marc de la transmissió digital mitjançant modulació QPSK, s'utilitza l'esquema canònic de modulador, canal i demodulador mostrat a continuació:

a)

Escriviu l'expressió del senyal de sortida del modulador $s_i(t)$ en components respecte a la base funcional $B = \{\cos(\omega_0 t), \sin(\omega_0 t)\}$. [0,5 p]

b)

Quina magnitud es calcula exactament a la branca superior del demodulador? Per quina raó geomètrica o matemàtica es realitza aquesta operació? Justifiqueu la resposta algebraicament, relacionant-la amb la teoria de projeccions en espais euclidians. [2 p]

c)

Quina operació concreta duu a terme el «bloc de decisió» del demodulador i quina n'és la finalitat pràctica? [1 p]